Страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решите задачу (511—512).

511 a) Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 19 больше удвоенного меньшего из них. Найдите эти числа.

б) Сумма квадратов двух последовательных положительных чётных чисел на 72 больше удвоенной суммы этих чисел. Найдите эти числа.

а)

Пусть меньшее из двух последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда следующее за ним число будет $n+1$. По условию, числа натуральные, то есть $n \in N$.

Сумма их квадратов равна $n^2 + (n+1)^2$. Удвоенное меньшее число равно $2n$.

Согласно условию задачи, сумма квадратов на 19 больше удвоенного меньшего числа. Составим уравнение:

$n^2 + (n+1)^2 = 2n + 19$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 2n + 19$

$2n^2 + 2n + 1 = 2n + 19$

Перенесем все члены с $n$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2n^2 + 2n - 2n = 19 - 1$

$2n^2 = 18$

$n^2 = 9$

Из этого уравнения получаем два корня: $n_1 = 3$ и $n_2 = -3$.

По условию задачи, искомые числа — натуральные, поэтому корень $n = -3$ не подходит.

Следовательно, меньшее число равно 3. Тогда второе число равно $n+1 = 3+1 = 4$.

Проверим решение: сумма квадратов $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Удвоенное меньшее число $2 \cdot 3 = 6$. Разница $25 - 6 = 19$, что соответствует условию.

Ответ: 3 и 4.

б)

Пусть меньшее из двух последовательных положительных чётных чисел равно $n$. Тогда следующее за ним чётное число будет $n+2$. По условию, $n$ — положительное чётное число.

Сумма их квадратов равна $n^2 + (n+2)^2$.

Сумма этих чисел равна $n + (n+2) = 2n+2$.

Удвоенная сумма этих чисел равна $2(2n+2) = 4n+4$.

Согласно условию задачи, сумма квадратов на 72 больше удвоенной суммы этих чисел. Составим уравнение:

$n^2 + (n+2)^2 = 2(n + (n+2)) + 72$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$n^2 + (n^2 + 4n + 4) = 2(2n+2) + 72$

$2n^2 + 4n + 4 = 4n + 4 + 72$

$2n^2 + 4n + 4 = 4n + 76$

Вычтем $4n$ и $4$ из обеих частей уравнения:

$2n^2 = 72$

$n^2 = 36$

Из этого уравнения получаем два корня: $n_1 = 6$ и $n_2 = -6$.

По условию задачи, искомые числа — положительные, поэтому корень $n = -6$ не подходит.

Следовательно, меньшее число равно 6. Тогда второе число равно $n+2 = 6+2 = 8$.

Проверим решение: сумма квадратов $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. Удвоенная сумма чисел $2 \cdot (6+8) = 2 \cdot 14 = 28$. Разница $100 - 28 = 72$, что соответствует условию.

Ответ: 6 и 8.

512 Площадь кольца равна $36 \text{ см}^2$. Найдите радиусы внутреннего и внешнего кругов, образующих кольцо, если известно, что первый в 2 раза меньше второго (примите $\pi \approx 3$).

Пусть $r$ — радиус внутреннего круга, а $R$ — радиус внешнего круга.

Площадь кольца вычисляется как разность площадей внешнего и внутреннего кругов. Формула для площади кольца:$S_{кольца} = S_{внешнего} - S_{внутреннего} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:

• Площадь кольца $S_{кольца} = 36 \text{ см}^2$.
• Число $\pi$ принимаем равным 3, то есть $\pi \approx 3$.
• Радиус внутреннего круга в 2 раза меньше радиуса внешнего круга, что можно записать как $R = 2r$.

Подставим известные значения в формулу площади кольца:$36 = 3 \cdot (R^2 - r^2)$

Разделим обе части уравнения на 3:$12 = R^2 - r^2$

Теперь подставим в это уравнение соотношение между радиусами $R = 2r$:$12 = (2r)^2 - r^2$

Решим полученное уравнение относительно $r$:$12 = 4r^2 - r^2$$12 = 3r^2$$r^2 = \frac{12}{3}$$r^2 = 4$

Так как радиус не может быть отрицательным, извлекаем квадратный корень:$r = \sqrt{4} = 2$ см.

Мы нашли радиус внутреннего круга. Теперь найдем радиус внешнего круга, используя соотношение $R = 2r$:$R = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Таким образом, радиус внутреннего круга равен 2 см, а радиус внешнего круга — 4 см.

Ответ: радиус внутреннего круга равен 2 см, а радиус внешнего круга — 4 см.