Страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Какое квадратное уравнение называется неполным (фрагмент 1)? Запишите квадратное уравнение, имеющее коэффициенты:

а) $a = 2, b = -5, c = 0;$

б) $a = -1, b = 0, c = \frac{1}{9}$. Какой из коэффициентов уравнений $2x^2 - 5x = 0$ и $-x^2 + 9 = 0$ равен 0?

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов $b$ (коэффициент при $x$) или $c$ (свободный член) равен нулю. При этом старший коэффициент $a$ (коэффициент при $x^2$) всегда должен быть отличен от нуля ($a \neq 0$), иначе уравнение не будет квадратным.

а) Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$. Подставим данные значения коэффициентов $a = 2$, $b = -5$, $c = 0$:
$2 \cdot x^2 + (-5) \cdot x + 0 = 0$
После упрощения получаем уравнение: $2x^2 - 5x = 0$.
Ответ: $2x^2 - 5x = 0$.

б) Подставим данные значения коэффициентов $a = -1$, $b = 0$, $c = \frac{1}{9}$ в общую формулу $ax^2 + bx + c = 0$:
$(-1) \cdot x^2 + 0 \cdot x + \frac{1}{9} = 0$
После упрощения получаем уравнение: $-x^2 + \frac{1}{9} = 0$.
Ответ: $-x^2 + \frac{1}{9} = 0$.

Чтобы определить, какой из коэффициентов равен нулю, сравним каждое уравнение с общей формой $ax^2 + bx + c = 0$.
Для уравнения $2x^2 - 5x = 0$:
Коэффициент при $x^2$ это $a=2$.
Коэффициент при $x$ это $b=-5$.
Свободный член $c$ отсутствует, следовательно, $c=0$.
Для уравнения $-x^2 + 9 = 0$:
Коэффициент при $x^2$ это $a=-1$.
Член с $x$ в первой степени отсутствует, следовательно, коэффициент $b=0$.
Свободный член это $c=9$.
Ответ: В уравнении $2x^2 - 5x = 0$ равен нулю коэффициент $c$. В уравнении $-x^2 + 9 = 0$ равен нулю коэффициент $b$.

Расскажите, как решают квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$. Сколько корней оно имеет? Воспользовавшись примером 1 как образцом, решите уравнение $7x^2 - 28x = 0$.

Как решают квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$ и сколько корней оно имеет

Уравнение вида $ax^2 + bx = 0$ является неполным квадратным уравнением (здесь свободный член $c=0$). Для его решения используется метод разложения на множители.

1. В левой части уравнения необходимо вынести за скобки общий множитель. Для слагаемых $ax^2$ и $bx$ общим множителем является $x$.

$x(ax + b) = 0$

2. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Исходя из этого правила, приравниваем к нулю каждый из полученных множителей: $x$ и $(ax + b)$.

$x = 0$ или $ax + b = 0$

3. Решаем каждое из полученных простых уравнений.

Первое уравнение $x = 0$ уже дает нам первый корень: $x_1 = 0$.

Решаем второе линейное уравнение $ax + b = 0$:
$ax = -b$
$x_2 = -\frac{b}{a}$

Таким образом, если коэффициенты $a$ и $b$ не равны нулю, неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$ всегда имеет два различных действительных корня.

Ответ: Уравнение вида $ax^2 + bx = 0$ решают путем вынесения общего множителя $x$ за скобки, что приводит к уравнению $x(ax + b) = 0$. Такое уравнение всегда имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -b/a$.

Решение уравнения $7x^2 - 28x = 0$

Это неполное квадратное уравнение, в котором $a = 7$ и $b = -28$. Решим его по описанному алгоритму.

1. Вынесем общий множитель за скобки. Наибольший общий делитель для $7x^2$ и $28x$ — это $7x$.

$7x(x - 4) = 0$

2. Приравняем каждый из множителей к нулю.

$7x = 0$ или $x - 4 = 0$

3. Найдем корни из каждого уравнения.

Из $7x = 0$ получаем $x_1 = 0$.

Из $x - 4 = 0$ получаем $x_2 = 4$.

Ответ: $0; 4$.

Решите уравнения $9x^2 - 1 = 0$ и $x^2 + 9 = 0$, воспользовавшись в качестве образцов примерами 2 и 3. Сколько корней может иметь квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$?

Решение уравнения $9x^2 - 1 = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Для его решения выразим $x^2$.
Перенесем свободный член (-1) в правую часть уравнения, изменив его знак:
$9x^2 = 1$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 9:
$x^2 = \frac{1}{9}$
Так как правая часть уравнения положительна, уравнение имеет два корня. Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{9}}$
$x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$
Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = -\frac{1}{3}$.

Решение уравнения $x^2 + 9 = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Выразим $x^2$.
Перенесем свободный член (9) в правую часть уравнения:
$x^2 = -9$
Квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Поскольку в правой части уравнения стоит отрицательное число (-9), данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: нет действительных корней.

Сколько корней может иметь квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$?

Рассмотрим общее уравнение вида $ax^2 + c = 0$, где $a \neq 0$.
Выразим из него $x^2$:
$ax^2 = -c$
$x^2 = -\frac{c}{a}$
Количество действительных корней этого уравнения зависит от знака дроби $-\frac{c}{a}$:

• Если $-\frac{c}{a} > 0$ (это происходит, когда коэффициенты $a$ и $c$ имеют противоположные знаки), то уравнение имеет два различных корня: $x_{1,2} = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$. Пример: $9x^2 - 1 = 0$.
• Если $-\frac{c}{a} = 0$ (это происходит, когда $c = 0$, а $a \neq 0$), то уравнение имеет один корень: $x = 0$. Пример: $2x^2 = 0$.
• Если $-\frac{c}{a} < 0$ (это происходит, когда коэффициенты $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки), то уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Пример: $x^2 + 9 = 0$.

Ответ: Квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$ может иметь два, один или ноль действительных корней.

Решите уравнение (490—493).

490 а) $x^2 - 5x = 0$;

Б) $y^2 + 3y = 0$;

В) $2z - 3z^2 = 0$;

Г) $5x + 2x^2 = 0$;

Д) $-x - x^2 = 0$;

Е) $-2x^2 - 4x = 0$.

а) Решим уравнение $x^2 - 5x = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 5) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы можем приравнять к нулю каждый из множителей:

1) $x = 0$

2) $x - 5 = 0 \implies x = 5$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Ответ: $0; 5$.

б) Решим уравнение $y^2 + 3y = 0$.

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y + 3) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $y = 0$

2) $y + 3 = 0 \implies y = -3$

Уравнение имеет два корня: $y_1 = 0$ и $y_2 = -3$.

Ответ: $0; -3$.

в) Решим уравнение $2z - 3z^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $z$ за скобки:

$z(2 - 3z) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $z = 0$

2) $2 - 3z = 0 \implies 3z = 2 \implies z = \frac{2}{3}$

Уравнение имеет два корня: $z_1 = 0$ и $z_2 = \frac{2}{3}$.

Ответ: $0; \frac{2}{3}$.

г) Решим уравнение $5x + 2x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5 + 2x) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x = 0$

2) $5 + 2x = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2} = -2.5$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2.5$.

Ответ: $0; -2.5$.

д) Решим уравнение $-x - x^2 = 0$.

Умножим обе части уравнения на $-1$ для удобства:

$x + x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(1 + x) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x = 0$

2) $1 + x = 0 \implies x = -1$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $0; -1$.

е) Решим уравнение $-2x^2 - 4x = 0$.

Вынесем общий множитель $-2x$ за скобки:

$-2x(x + 2) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $-2x = 0 \implies x = 0$

2) $x + 2 = 0 \implies x = -2$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $0; -2$.

491 а) $4y^2 = y;$

б) $6x^2 = -x;$

в) $3z - z^2 = 3z^2;$

г) $x^2 + 1 = x + 1;$

д) $2y - y^2 = 4y - 5y^2;$

е) $z = 7z^2 - 6z.$

а)

Дано уравнение: $4y^2 = y$.
Это неполное квадратное уравнение. Для его решения перенесем все члены в левую часть:
$4y^2 - y = 0$
Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(4y - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно, мы получаем два возможных решения:
1) $y = 0$
2) $4y - 1 = 0 \implies 4y = 1 \implies y = \frac{1}{4}$
Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $y_1 = 0$, $y_2 = \frac{1}{4}$.

б)

Дано уравнение: $6x^2 = -x$.
Перенесем член $-x$ в левую часть уравнения:
$6x^2 + x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(6x + 1) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:
1) $x = 0$
2) $6x + 1 = 0 \implies 6x = -1 \implies x = -\frac{1}{6}$
Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -\frac{1}{6}$.

в)

Дано уравнение: $3z - z^2 = 3z^2$.
Соберем все члены в одной части уравнения. Перенесем члены из левой части в правую:
$0 = 3z^2 + z^2 - 3z$
Приведем подобные слагаемые:
$4z^2 - 3z = 0$
Вынесем общий множитель $z$ за скобки:
$z(4z - 3) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $z = 0$
2) $4z - 3 = 0 \implies 4z = 3 \implies z = \frac{3}{4}$
Уравнение имеет два корня.

Ответ: $z_1 = 0$, $z_2 = \frac{3}{4}$.

г)

Дано уравнение: $x^2 + 1 = x + 1$.
Перенесем все члены из правой части в левую:
$x^2 + 1 - x - 1 = 0$
Упростим выражение, сократив $1$ и $-1$:
$x^2 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 1) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $x = 0$
2) $x - 1 = 0 \implies x = 1$
Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

д)

Дано уравнение: $2y - y^2 = 4y - 5y^2$.
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$2y - y^2 - 4y + 5y^2 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(5y^2 - y^2) + (2y - 4y) = 0$
$4y^2 - 2y = 0$
Вынесем общий множитель $2y$ за скобки:
$2y(2y - 1) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $2y = 0 \implies y = 0$
2) $2y - 1 = 0 \implies 2y = 1 \implies y = \frac{1}{2}$
Уравнение имеет два корня.

Ответ: $y_1 = 0$, $y_2 = \frac{1}{2}$.

е)

Дано уравнение: $z = 7z^2 - 6z$.
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = 7z^2 - 6z - z$
Приведем подобные слагаемые:
$7z^2 - 7z = 0$
Вынесем общий множитель $7z$ за скобки:
$7z(z - 1) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $7z = 0 \implies z = 0$
2) $z - 1 = 0 \implies z = 1$
Уравнение имеет два корня.

Ответ: $z_1 = 0$, $z_2 = 1$.

492 a) $x^2 - 16 = 0$;

В) $y^2 + 100 = 0$;

Д) $16 - 4x^2 = 0$;

б) $z^2 - 25 = 0$;

Г) $3z^2 - 27 = 0$;

е) $1 - 9z^2 = 0$.

а) Для решения уравнения $x^2 - 16 = 0$ перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = 16$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$. Важно помнить, что корень имеет два знака — положительный и отрицательный:

$x = \pm\sqrt{16}$

$x = \pm 4$

Ответ: $x = \pm 4$.

б) Решим уравнение $z^2 - 25 = 0$. Перенесем свободный член в правую часть:

$z^2 = 25$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$z = \pm\sqrt{25}$

$z = \pm 5$

Ответ: $z = \pm 5$.

в) В уравнении $y^2 + 100 = 0$ перенесем свободный член в правую часть:

$y^2 = -100$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Поскольку $y^2 \ge 0$, а $-100 < 0$, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: нет действительных корней.

г) Для решения уравнения $3z^2 - 27 = 0$ сначала перенесем свободный член в правую часть:

$3z^2 = 27$

Затем разделим обе части уравнения на коэффициент 3:

$z^2 = \frac{27}{3}$

$z^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$z = \pm\sqrt{9}$

$z = \pm 3$

Ответ: $z = \pm 3$.

д) Решим уравнение $16 - 4x^2 = 0$. Перенесем член с переменной $x^2$ в правую часть:

$16 = 4x^2$

Разделим обе части на 4:

$x^2 = \frac{16}{4}$

$x^2 = 4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{4}$

$x = \pm 2$

Ответ: $x = \pm 2$.

е) В уравнении $1 - 9z^2 = 0$ перенесем член с переменной $z^2$ в правую часть:

$1 = 9z^2$

Разделим обе части на 9:

$z^2 = \frac{1}{9}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$z = \pm\sqrt{\frac{1}{9}}$

$z = \pm\frac{1}{3}$

Ответ: $z = \pm\frac{1}{3}$.

493 a) $2y^2 - 16 = 0$;

б) $3x^2 = 18$;

в) $24 = 2z^2$;

г) $7x^2 + 49 = 0$;

д) $2x^2 - 1 = 0$;

е) $5 = 15x^2$.

а) Дано уравнение $2y^2 - 16 = 0$. Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2+c=0$. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$2y^2 = 16$
Разделим обе части уравнения на коэффициент при $y^2$, то есть на 2:
$y^2 = \frac{16}{2}$
$y^2 = 8$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение $y^2 = a$ при $a>0$ имеет два корня: $y = \pm\sqrt{a}$.
$y = \pm\sqrt{8}$
Упростим корень: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Следовательно, корни уравнения: $y_1 = 2\sqrt{2}$ и $y_2 = -2\sqrt{2}$.
Ответ: $\pm 2\sqrt{2}$.

б) Дано уравнение $3x^2 = 18$. Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2+c=0$. Разделим обе части уравнения на 3:
$x^2 = \frac{18}{3}$
$x^2 = 6$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{6}$
Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{6}$ и $x_2 = -\sqrt{6}$.
Ответ: $\pm\sqrt{6}$.

в) Дано уравнение $24 = 2z^2$. Запишем его в стандартном виде: $2z^2 = 24$. Разделим обе части на 2:
$z^2 = \frac{24}{2}$
$z^2 = 12$
Извлечем квадратный корень:
$z = \pm\sqrt{12}$
Упростим корень: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
Корни уравнения: $z_1 = 2\sqrt{3}$ и $z_2 = -2\sqrt{3}$.
Ответ: $\pm 2\sqrt{3}$.

г) Дано уравнение $7x^2 + 49 = 0$. Перенесем свободный член в правую часть:
$7x^2 = -49$
Разделим обе части на 7:
$x^2 = \frac{-49}{7}$
$x^2 = -7$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Так как $-7 < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.

д) Дано уравнение $2x^2 - 1 = 0$. Перенесем свободный член в правую часть:
$2x^2 = 1$
Разделим обе части на 2:
$x^2 = \frac{1}{2}$
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}}$
Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе: $\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

е) Дано уравнение $5 = 15x^2$. Запишем его в стандартном виде: $15x^2 = 5$. Разделим обе части на 15:
$x^2 = \frac{5}{15}$
Сократим дробь:
$x^2 = \frac{1}{3}$
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{3}}$
Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе: $\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $x_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

494 Установите соответствие между уравнениями и утверждениями об их корнях:

1) $x^2 = 2$

2) $x^2 = 25$

3) $x^2 = -81$

a) не имеет корней;

б) имеет два рациональных корня;

в) имеет два иррациональных корня.

1) Проанализируем уравнение $x^2 = 2$.
Корнями этого уравнения являются числа, квадрат которых равен 2. Это $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.
Число $\sqrt{2}$ является иррациональным, так как его нельзя представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ - целое число, а $n$ - натуральное. Следовательно, уравнение имеет два иррациональных корня.
Это соответствует утверждению в).
Ответ: в.

2) Проанализируем уравнение $x^2 = 25$.
Его корни - это числа, квадрат которых равен 25. Это $x_1 = \sqrt{25} = 5$ и $x_2 = -\sqrt{25} = -5$.
Числа 5 и -5 являются целыми, а все целые числа относятся к рациональным (их можно представить в виде дроби, например, $5 = \frac{5}{1}$). Значит, у уравнения есть два рациональных корня.
Это соответствует утверждению б).
Ответ: б.

3) Проанализируем уравнение $x^2 = -81$.
Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$. В уравнении же требуется, чтобы квадрат числа был равен отрицательному числу -81. Таких действительных чисел не существует.
Следовательно, уравнение не имеет действительных корней. Это соответствует утверждению а).
Ответ: а.

Решите уравнение (495—496).

495 a) $(x + 4)(x + 5) = 20;$

б) $(x + 5)(x - 5) = 24;$

в) $5(7 - 2x) = 2x(x - 5);$

г) $x(3x - 4) = 2(5 - 2x);$

д) $(x + 2)^2 = 4(x + 4);$

е) $4(x - 1)^2 = (x + 2)^2;$

ж) $(3x - 1)^2 = 3(1 - 2x);$

з) $(x + 3)^2 = 3(x + 1)^2.$

а) $(x + 4)(x + 5) = 20$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 + 5x + 4x + 20 = 20$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 9x + 20 = 20$

Перенесем 20 из правой части в левую с противоположным знаком:

$x^2 + 9x + 20 - 20 = 0$

$x^2 + 9x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 9) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x + 9 = 0$

Откуда $x_2 = -9$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -9$.

б) $(x + 5)(x - 5) = 24$

В левой части уравнения используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$x^2 - 5^2 = 24$

$x^2 - 25 = 24$

Перенесем -25 в правую часть с противоположным знаком:

$x^2 = 24 + 25$

$x^2 = 49$

Найдем корни, извлекая квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{49}$

$x_1 = 7, x_2 = -7$

Ответ: $x_1 = 7, x_2 = -7$.

в) $5(7 - 2x) = 2x(x - 5)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$35 - 10x = 2x^2 - 10x$

Перенесем все члены в одну часть. Удобнее перенести все в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным. При этом $-10x$ в обеих частях взаимно уничтожаются:

$0 = 2x^2 - 10x - 35 + 10x$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 35 = 0$

Перенесем -35 в правую часть:

$2x^2 = 35$

Разделим обе части на 2:

$x^2 = \frac{35}{2}$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{\frac{35}{2}}$

Ответ: $x_1 = \sqrt{\frac{35}{2}}, x_2 = -\sqrt{\frac{35}{2}}$.

г) $x(3x - 4) = 2(5 - 2x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x^2 - 4x = 10 - 4x$

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^2 - 4x - 10 + 4x = 0$

Приведем подобные слагаемые ($-4x$ и $4x$ взаимно уничтожаются):

$3x^2 - 10 = 0$

Перенесем -10 в правую часть:

$3x^2 = 10$

Разделим обе части на 3:

$x^2 = \frac{10}{3}$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{\frac{10}{3}}$

Ответ: $x_1 = \sqrt{\frac{10}{3}}, x_2 = -\sqrt{\frac{10}{3}}$.

д) $(x + 2)^2 = 4(x + 4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + 4x + 4 = 4x + 16$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 4x + 4 - 4x - 16 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 12 = 0$

Перенесем -12 в правую часть:

$x^2 = 12$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{12}$

Упростим корень: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

$x = \pm 2\sqrt{3}$

Ответ: $x_1 = 2\sqrt{3}, x_2 = -2\sqrt{3}$.

е) $4(x - 1)^2 = (x + 2)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$4(x^2 - 2x + 1) = x^2 + 4x + 4$

$4x^2 - 8x + 4 = x^2 + 4x + 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$4x^2 - 8x + 4 - x^2 - 4x - 4 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 12x = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$3x = 0$ или $x - 4 = 0$

$x_1 = 0, x_2 = 4$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 4$.

ж) $(3x - 1)^2 = 3(1 - 2x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$9x^2 - 6x + 1 = 3 - 6x$

Перенесем все члены в левую часть:

$9x^2 - 6x + 1 - 3 + 6x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$9x^2 - 2 = 0$

Перенесем -2 в правую часть:

$9x^2 = 2$

Разделим обе части на 9:

$x^2 = \frac{2}{9}$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{\frac{2}{9}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{3}, x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{3}$.

з) $(x + 3)^2 = 3(x + 1)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$x^2 + 6x + 9 = 3(x^2 + 2x + 1)$

$x^2 + 6x + 9 = 3x^2 + 6x + 3$

Перенесем все члены в одну часть, например, в правую:

$0 = 3x^2 + 6x + 3 - x^2 - 6x - 9$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 6 = 0$

Перенесем -6 в правую часть:

$2x^2 = 6$

Разделим обе части на 2:

$x^2 = 3$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$.