Номер 495, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 495, страница 143.

Условие.

Решите уравнение (495—496).

495 a) $(x + 4)(x + 5) = 20;$

б) $(x + 5)(x - 5) = 24;$

в) $5(7 - 2x) = 2x(x - 5);$

г) $x(3x - 4) = 2(5 - 2x);$

д) $(x + 2)^2 = 4(x + 4);$

е) $4(x - 1)^2 = (x + 2)^2;$

ж) $(3x - 1)^2 = 3(1 - 2x);$

з) $(x + 3)^2 = 3(x + 1)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(x + 4)(x + 5) = 20$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 + 5x + 4x + 20 = 20$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 9x + 20 = 20$

Перенесем 20 из правой части в левую с противоположным знаком:

$x^2 + 9x + 20 - 20 = 0$

$x^2 + 9x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 9) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x + 9 = 0$

Откуда $x_2 = -9$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -9$.

б) $(x + 5)(x - 5) = 24$

В левой части уравнения используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$x^2 - 5^2 = 24$

$x^2 - 25 = 24$

Перенесем -25 в правую часть с противоположным знаком:

$x^2 = 24 + 25$

$x^2 = 49$

Найдем корни, извлекая квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{49}$

$x_1 = 7, x_2 = -7$

Ответ: $x_1 = 7, x_2 = -7$.

в) $5(7 - 2x) = 2x(x - 5)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$35 - 10x = 2x^2 - 10x$

Перенесем все члены в одну часть. Удобнее перенести все в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным. При этом $-10x$ в обеих частях взаимно уничтожаются:

$0 = 2x^2 - 10x - 35 + 10x$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 35 = 0$

Перенесем -35 в правую часть:

$2x^2 = 35$

Разделим обе части на 2:

$x^2 = \frac{35}{2}$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{\frac{35}{2}}$

Ответ: $x_1 = \sqrt{\frac{35}{2}}, x_2 = -\sqrt{\frac{35}{2}}$.

г) $x(3x - 4) = 2(5 - 2x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x^2 - 4x = 10 - 4x$

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^2 - 4x - 10 + 4x = 0$

Приведем подобные слагаемые ($-4x$ и $4x$ взаимно уничтожаются):

$3x^2 - 10 = 0$

Перенесем -10 в правую часть:

$3x^2 = 10$

Разделим обе части на 3:

$x^2 = \frac{10}{3}$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{\frac{10}{3}}$

Ответ: $x_1 = \sqrt{\frac{10}{3}}, x_2 = -\sqrt{\frac{10}{3}}$.

д) $(x + 2)^2 = 4(x + 4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + 4x + 4 = 4x + 16$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 4x + 4 - 4x - 16 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 12 = 0$

Перенесем -12 в правую часть:

$x^2 = 12$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{12}$

Упростим корень: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

$x = \pm 2\sqrt{3}$

Ответ: $x_1 = 2\sqrt{3}, x_2 = -2\sqrt{3}$.

е) $4(x - 1)^2 = (x + 2)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$4(x^2 - 2x + 1) = x^2 + 4x + 4$

$4x^2 - 8x + 4 = x^2 + 4x + 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$4x^2 - 8x + 4 - x^2 - 4x - 4 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 12x = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$3x = 0$ или $x - 4 = 0$

$x_1 = 0, x_2 = 4$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 4$.

ж) $(3x - 1)^2 = 3(1 - 2x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$9x^2 - 6x + 1 = 3 - 6x$

Перенесем все члены в левую часть:

$9x^2 - 6x + 1 - 3 + 6x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$9x^2 - 2 = 0$

Перенесем -2 в правую часть:

$9x^2 = 2$

Разделим обе части на 9:

$x^2 = \frac{2}{9}$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{\frac{2}{9}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{3}, x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{3}$.

з) $(x + 3)^2 = 3(x + 1)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$x^2 + 6x + 9 = 3(x^2 + 2x + 1)$

$x^2 + 6x + 9 = 3x^2 + 6x + 3$

Перенесем все члены в одну часть, например, в правую:

$0 = 3x^2 + 6x + 3 - x^2 - 6x - 9$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 6 = 0$

Перенесем -6 в правую часть:

$2x^2 = 6$

Разделим обе части на 2:

$x^2 = 3$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$.