Номер 500, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 500, страница 144.

Условие.

500 На перекрёстке двух дорог встретились пешеход и велосипедист, а затем каждый продолжил свой путь: велосипедист — на север со скоростью $12 \text{ км/ч}$, а пешеход — на восток со скоростью $5 \text{ км/ч}$. Через какое время после их встречи пешеход и велосипедист окажутся на расстоянии $26 \text{ км}$ друг от друга?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $t$ — искомое время в часах. Примем точку встречи на перекрестке за начало координат. Велосипедист движется на север со скоростью $v_в = 12$ км/ч, а пешеход — на восток со скоростью $v_п = 5$ км/ч. Так как направления "север" и "восток" взаимно перпендикулярны, траектории их движения образуют прямой угол.

За время $t$ велосипедист проедет расстояние $S_в$, равное произведению его скорости на время:
$S_в = v_в \cdot t = 12t$ км.

Аналогично, за то же время $t$ пешеход пройдет расстояние $S_п$:
$S_п = v_п \cdot t = 5t$ км.

Положения велосипедиста, пешехода и точка их встречи (перекресток) в любой момент времени $t$ образуют прямоугольный треугольник. Расстояния, пройденные велосипедистом ($S_в$) и пешеходом ($S_п$), являются катетами этого треугольника. Расстояние $S$ между ними является гипотенузой.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$S^2 = S_в^2 + S_п^2$

Согласно условию задачи, искомое расстояние между ними $S = 26$ км. Подставим все известные значения в уравнение:
$26^2 = (12t)^2 + (5t)^2$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно $t$:
$676 = 144t^2 + 25t^2$
$676 = (144 + 25)t^2$
$676 = 169t^2$
$t^2 = \frac{676}{169}$
$t^2 = 4$
$t = \sqrt{4}$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, мы берем только положительное значение корня:
$t = 2$ ч.

Ответ: через 2 часа.