Номер 504, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 504, страница 145.

Условие.

504 a) $(2x + 1)^2 = 2x + 1;$

Б) $(y - 2)^2 - 4 = 0;$

В) $(3x - 1)^2 = 2(3x - 1);$

Г) $9 - (2x - 3)^2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(2x + 1)^2 = 2x + 1$

Для решения данного уравнения перенесем все его члены в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$(2x + 1)^2 - (2x + 1) = 0$

Теперь можно вынести общий множитель $(2x + 1)$ за скобки:

$(2x + 1) \cdot ((2x + 1) - 1) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(2x + 1) \cdot (2x) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных случая:

1) $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x_1 = -0.5$

2) $2x = 0 \implies x_2 = 0$

Ответ: $-0.5; 0$.

б) $(y - 2)^2 - 4 = 0$

Это уравнение можно представить в виде разности квадратов, так как $4$ это $2^2$:

$(y - 2)^2 - 2^2 = 0$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = y - 2$ и $b = 2$:

$((y - 2) - 2) \cdot ((y - 2) + 2) = 0$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(y - 4) \cdot y = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $y - 4 = 0 \implies y_1 = 4$

2) $y_2 = 0$

Ответ: $0; 4$.

В) $(3x - 1)^2 = 2(3x - 1)$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$(3x - 1)^2 - 2(3x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(3x - 1)$ за скобки:

$(3x - 1) \cdot ((3x - 1) - 2) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(3x - 1)(3x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{3}$

2) $3x - 3 = 0 \implies 3x = 3 \implies x_2 = 1$

Ответ: $\frac{1}{3}; 1$.

Г) $9 - (2x - 3)^2 = 0$

Данное уравнение является разностью квадратов, поскольку $9 = 3^2$. Перепишем его в следующем виде:

$3^2 - (2x - 3)^2 = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 3$ и $b = 2x - 3$:

$(3 - (2x - 3)) \cdot (3 + (2x - 3)) = 0$

Раскроем внутренние скобки и упростим полученные выражения:

$(3 - 2x + 3) \cdot (3 + 2x - 3) = 0$

$(6 - 2x) \cdot (2x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $6 - 2x = 0 \implies 2x = 6 \implies x_1 = 3$

2) $2x = 0 \implies x_2 = 0$

Ответ: $0; 3$.