Номер 505, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 505, страница 145.

Условие.

505 a) $(x^2 - 1)^3 + 2(x^2 - 1)^2 = 0;$

б) $x^2(x - 1) - 3x(x - 1) = 0;$

В) $x^2(x^2 - 3)^2 - 4(x^2 - 3) = 0;$

Г) $x^2(x - 5)^2 - 5(x - 5)^2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(x^2 - 1)^3 + 2(x^2 - 1)^2 = 0$
Вынесем общий множитель $(x^2 - 1)^2$ за скобки:
$(x^2 - 1)^2 ((x^2 - 1) + 2) = 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x^2 - 1)^2 (x^2 + 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Разобьем на два уравнения:
1) $(x^2 - 1)^2 = 0$
$x^2 - 1 = 0$
$x^2 = 1$
$x_1 = 1, x_2 = -1$
2) $x^2 + 1 = 0$
$x^2 = -1$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Ответ: $x = -1, x = 1$.

б) $x^2(x - 1) - 3x(x - 1) = 0$
Вынесем общий множитель $x(x - 1)$ за скобки:
$x(x - 1)(x - 3) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $x = 0$
2) $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
3) $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
Ответ: $x = 0, x = 1, x = 3$.

в) $x^2(x^2 - 3)^2 - 4(x^2 - 3) = 0$
Вынесем общий множитель $(x^2 - 3)$ за скобки:
$(x^2 - 3)(x^2(x^2 - 3) - 4) = 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x^2 - 3)(x^4 - 3x^2 - 4) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $x^2 - 3 = 0$
$x^2 = 3$
$x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$
2) $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$
Это биквадратное уравнение. Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 3t - 4 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Вернемся к переменной $x$ для $t_1 = 4$:
$x^2 = 4$
$x_3 = 2, x_4 = -2$
Ответ: $x = -2, x = 2, x = -\sqrt{3}, x = \sqrt{3}$.

г) $x^2(x - 5)^2 - 5(x - 5)^2 = 0$
Вынесем общий множитель $(x - 5)^2$ за скобки:
$(x - 5)^2 (x^2 - 5) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $(x - 5)^2 = 0$
$x - 5 = 0$
$x = 5$
2) $x^2 - 5 = 0$
$x^2 = 5$
$x_1 = \sqrt{5}, x_2 = -\sqrt{5}$
Ответ: $x = 5, x = \sqrt{5}, x = -\sqrt{5}$.