Номер 499, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 499, страница 144.

Условие.

499 а) Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а его гипотенуза равна 1 дм. Найдите периметр треугольника.

б) Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно $\frac{17}{8}$, а другой катет равен 30 см. Найдите площадь треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

По условию, катеты относятся как $3:4$, то есть $a:b = 3:4$. Мы можем выразить их длины через коэффициент пропорциональности $x$: $a = 3x$ и $b = 4x$.

Гипотенуза $c = 1 \text{ дм}$. Для удобства вычислений переведем дециметры в сантиметры: $c = 10 \text{ см}$.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим наши выражения для катетов и значение гипотенузы в формулу:

$(3x)^2 + (4x)^2 = 10^2$

$9x^2 + 16x^2 = 100$

$25x^2 = 100$

$x^2 = \frac{100}{25} = 4$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, $x = \sqrt{4} = 2$.

Теперь найдем длины катетов:

$a = 3x = 3 \cdot 2 = 6 \text{ см}$

$b = 4x = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см}$

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.

$P = 6 \text{ см} + 8 \text{ см} + 10 \text{ см} = 24 \text{ см}$.

Можно также выразить ответ в дециметрах: $24 \text{ см} = 2.4 \text{ дм}$.

Ответ: $24 \text{ см}$ (или $2.4 \text{ дм}$).

б)

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

По условию, отношение гипотенузы к одному из катетов равно $\frac{17}{8}$. Пусть это будет катет $a$. Тогда $\frac{c}{a} = \frac{17}{8}$.

Это соотношение можно выразить через коэффициент пропорциональности $x$: $c = 17x$ и $a = 8x$.

Другой катет по условию равен $b = 30 \text{ см}$.

Применим теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим известные значения и выражения:

$(8x)^2 + 30^2 = (17x)^2$

$64x^2 + 900 = 289x^2$

Перенесем слагаемые с $x^2$ в одну сторону:

$289x^2 - 64x^2 = 900$

$225x^2 = 900$

$x^2 = \frac{900}{225} = 4$

Так как $x$ должен быть положительным, $x = \sqrt{4} = 2$.

Теперь найдем длину катета $a$:

$a = 8x = 8 \cdot 2 = 16 \text{ см}$.

Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab$.

У нас есть оба катета: $a = 16 \text{ см}$ и $b = 30 \text{ см}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 30 = 8 \cdot 30 = 240 \text{ см}^2$.

Ответ: $240 \text{ см}^2$.