Номер 493, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 493, страница 143.

Условие.

493 a) $2y^2 - 16 = 0$;

б) $3x^2 = 18$;

в) $24 = 2z^2$;

г) $7x^2 + 49 = 0$;

д) $2x^2 - 1 = 0$;

е) $5 = 15x^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дано уравнение $2y^2 - 16 = 0$. Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2+c=0$. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$2y^2 = 16$
Разделим обе части уравнения на коэффициент при $y^2$, то есть на 2:
$y^2 = \frac{16}{2}$
$y^2 = 8$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение $y^2 = a$ при $a>0$ имеет два корня: $y = \pm\sqrt{a}$.
$y = \pm\sqrt{8}$
Упростим корень: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Следовательно, корни уравнения: $y_1 = 2\sqrt{2}$ и $y_2 = -2\sqrt{2}$.
Ответ: $\pm 2\sqrt{2}$.

б) Дано уравнение $3x^2 = 18$. Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2+c=0$. Разделим обе части уравнения на 3:
$x^2 = \frac{18}{3}$
$x^2 = 6$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{6}$
Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{6}$ и $x_2 = -\sqrt{6}$.
Ответ: $\pm\sqrt{6}$.

в) Дано уравнение $24 = 2z^2$. Запишем его в стандартном виде: $2z^2 = 24$. Разделим обе части на 2:
$z^2 = \frac{24}{2}$
$z^2 = 12$
Извлечем квадратный корень:
$z = \pm\sqrt{12}$
Упростим корень: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
Корни уравнения: $z_1 = 2\sqrt{3}$ и $z_2 = -2\sqrt{3}$.
Ответ: $\pm 2\sqrt{3}$.

г) Дано уравнение $7x^2 + 49 = 0$. Перенесем свободный член в правую часть:
$7x^2 = -49$
Разделим обе части на 7:
$x^2 = \frac{-49}{7}$
$x^2 = -7$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Так как $-7 < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.

д) Дано уравнение $2x^2 - 1 = 0$. Перенесем свободный член в правую часть:
$2x^2 = 1$
Разделим обе части на 2:
$x^2 = \frac{1}{2}$
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}}$
Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе: $\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

е) Дано уравнение $5 = 15x^2$. Запишем его в стандартном виде: $15x^2 = 5$. Разделим обе части на 15:
$x^2 = \frac{5}{15}$
Сократим дробь:
$x^2 = \frac{1}{3}$
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{3}}$
Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе: $\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $x_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.