Номер 489, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 489, страница 140.

Условие.

489 ИССЛЕДУЕМ

Вам, вероятно, приходилось слышать о золотом сечении. Так называют число, выражающее определённое отношение длин отрезков. Золотое сечение широко использовалось в древней архитектуре. Сооружения, построенные с использованием золотого сечения, поражают своей соразмерностью, законченностью, красотой.

Золотое сечение может быть описано следующим образом: точка делит отрезок на две части в отношении, равном золотому сечению, если отношение большей части к меньшей равно отношению длины всего отрезка к длине большей его части (рис. 3.5):

$\frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}$

Рис. 3.5

1) Найдите число, выражающее золотое сечение. Для этого примите длину меньшей части b за 1 и, подставив b = 1 в пропорцию, найдите из этой пропорции a. Положительное значение a и будет равно золотому сечению. (Запишите его точное значение и приближённое значение с тремя знаками после запятой.)

2) Постройте какой-нибудь прямоугольник, отношение сторон которого равно золотому сечению. «Отрежьте» от него квадрат. Убедитесь в том, что отношение сторон полученного прямоугольника также равно золотому сечению (в вычислениях используйте точное значение золотого сечения).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Согласно определению золотого сечения, отношение большей части отрезка ($a$) к меньшей ($b$) равно отношению всего отрезка ($a+b$) к большей части ($a$). Это выражается пропорцией:

$\frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}$

По условию задачи, мы принимаем длину меньшей части $b$ за 1. Подставим $b=1$ в эту пропорцию:

$\frac{a}{1} = \frac{a+1}{a}$

Упростим полученное уравнение:

$a = \frac{a+1}{a}$

Умножим обе части уравнения на $a$ (поскольку $a$ — это длина, $a \neq 0$):

$a^2 = a + 1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$a^2 - a - 1 = 0$

Для решения этого уравнения используем формулу корней квадратного уравнения $x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}$, где в нашем случае $A=1$, $B=-1$, $C=-1$.

$a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Поскольку $a$ представляет собой длину отрезка, ее значение должно быть положительным. Следовательно, мы выбираем корень со знаком «плюс».

Точное значение числа, выражающего золотое сечение (которое также обозначают греческой буквой $\phi$ — фи), равно:

$a = \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Теперь найдем его приближенное значение. Зная, что $\sqrt{5} \approx 2.2360679...$, получаем:

$a \approx \frac{1 + 2.236068}{2} = \frac{3.236068}{2} \approx 1.618034$

Округлим это значение до трех знаков после запятой:

$a \approx 1.618$

Ответ: Точное значение золотого сечения равно $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, а его приближенное значение с тремя знаками после запятой — $1.618$.

2)

Построим прямоугольник, отношение сторон которого равно золотому сечению. Пусть его большая сторона равна $a = \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, а меньшая сторона равна $b=1$. Отношение сторон этого прямоугольника $\frac{a}{b} = \frac{\phi}{1} = \phi$.

Теперь, согласно заданию, «отрежем» от этого прямоугольника квадрат. Сторона квадрата будет равна меньшей стороне прямоугольника, то есть $1$. Размеры исходного прямоугольника — $\phi \times 1$.

После того как мы отрезали квадрат $1 \times 1$, остался новый, меньший прямоугольник. Найдем его размеры:

• Одна сторона нового прямоугольника осталась прежней и равна $1$.
• Другая сторона равна разности длинной стороны исходного прямоугольника и стороны квадрата: $\phi - 1$.

Таким образом, мы получили прямоугольник со сторонами $1$ и $\phi - 1$.

Теперь убедимся, что отношение сторон этого нового прямоугольника также равно золотому сечению. Для этого нужно найти отношение его большей стороны к меньшей. Сравним длины сторон $1$ и $\phi-1$:

$\phi \approx 1.618$, значит $\phi - 1 \approx 0.618$.

Следовательно, $1 > \phi - 1$. Большая сторона нового прямоугольника равна $1$, а меньшая — $\phi - 1$.

Найдем их отношение, используя точное значение $\phi$:

$\frac{1}{\phi - 1}$

Из пункта 1) мы знаем, что $\phi$ является корнем уравнения $\phi^2 - \phi - 1 = 0$. Если $\phi \neq 0$, мы можем разделить все уравнение на $\phi$:

$\phi - 1 - \frac{1}{\phi} = 0$

Отсюда следует, что:

$\phi - 1 = \frac{1}{\phi}$

Подставим это выражение в наше отношение сторон:

$\frac{1}{\phi - 1} = \frac{1}{1/\phi} = \phi$

Таким образом, отношение сторон полученного прямоугольника действительно равно золотому сечению $\phi$.

Ответ: Если от прямоугольника со сторонами, находящимися в золотом сечении (например, $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и $1$), отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника ($1$), то оставшийся прямоугольник будет иметь стороны $1$ и $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Отношение его большей стороны к меньшей $\frac{1}{(\sqrt{5}-1)/2} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, что также равно золотому сечению. Таким образом, свойство сохраняется.