Номер 488, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 3. Квадратные уравнения. 3.4. Решение задач. Упражнения - номер 488, страница 140.

Условие.

488 Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 400 р., а окончательная 256 р.?

Совет. Используйте ход рассуждения, данный в задаче 487.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть первоначальная стоимость товара равна $P_0 = 400$ р., а окончательная стоимость — $P_2 = 256$ р. Обозначим искомое число процентов, на которое снижалась цена, через $x$.

При снижении цены на $x$ процентов, ее новая величина составляет $(100 - x)\%$ от предыдущей. Чтобы найти новую цену, нужно умножить старую цену на коэффициент $k = \frac{100 - x}{100} = 1 - \frac{x}{100}$.

После первого снижения цена товара $P_1$ составит: $P_1 = P_0 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)$

Поскольку цена снижалась дважды на одно и то же число процентов, то после второго снижения новая цена $P_2$ будет равна: $P_2 = P_1 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right) = \left(P_0 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)\right) \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right) = P_0 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)^2$

Подставим в это уравнение известные значения $P_0 = 400$ и $P_2 = 256$: $256 = 400 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)^2$

Для того чтобы найти $x$, решим полученное уравнение. Сначала выразим квадрат скобки, разделив обе части уравнения на 400: $\left(1 - \frac{x}{100}\right)^2 = \frac{256}{400}$

Упростим дробь в правой части: $\frac{256}{400} = \frac{64 \cdot 4}{100 \cdot 4} = \frac{64}{100} = 0.64$

Теперь уравнение выглядит так: $\left(1 - \frac{x}{100}\right)^2 = 0.64$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку $x$ — это процент снижения, то $0 < x < 100$, а значит выражение $1 - \frac{x}{100}$ должно быть положительным. $1 - \frac{x}{100} = \sqrt{0.64}$ $1 - \frac{x}{100} = 0.8$

Теперь найдем $\frac{x}{100}$: $\frac{x}{100} = 1 - 0.8$ $\frac{x}{100} = 0.2$

Отсюда находим $x$: $x = 0.2 \cdot 100 = 20$

Таким образом, цена товара каждый раз снижалась на 20 процентов.

Ответ: 20%.