Номер 487, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 487, страница 140.

Условие.

487 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Разберите, как по условию задачи составлено уравнение, и решите её. Цена товара была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повышалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 200 р., а окончательная 338 р.?

Способ 1. Пусть цена товара каждый раз повышалась на $x$ процентов, т. е. на $\frac{x}{100}$ величины. Тогда $(200 + 200 \cdot \frac{x}{100})$ р. — цена товара после первого повышения;

$( (200 + 2x) + (200 + 2x) \cdot \frac{x}{100} )$ р.— цена товара после второго повышения. Так как окончательная цена 338 р., то имеем равенство

$(200 + 2x) + (200 + 2x) \cdot \frac{x}{100} = 338.$

Способ 2. Пусть цена товара каждый раз увеличивалась в $x$ раз. Тогда $(200 \cdot x) \cdot x$ р. — цена товара после второго повышения. Имеем уравнение $(200 \cdot x) \cdot x = 338.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Способ 1.

В этом способе за $x$ принимается искомое число процентов. Уравнение составляется путем последовательного вычисления цены после каждого повышения.

1. Первое повышение. Первоначальная цена товара – 200 р. Цена повышается на $x$ процентов. Величина повышения в рублях составляет $x$ процентов от 200, то есть $200 \cdot \frac{x}{100} = 2x$ р. Новая цена после первого повышения будет равна сумме первоначальной цены и величины повышения: $200 + 2x$ р. В тексте задачи это представлено выражением $(200 + 200 \cdot \frac{x}{100})$.

2. Второе повышение. Второе повышение на $x$ процентов рассчитывается уже от новой цены, которая составляет $(200 + 2x)$ р. Величина второго повышения составит $x$ процентов от этой суммы: $(200 + 2x) \cdot \frac{x}{100}$ р. Окончательная цена получается путем прибавления этого повышения к цене после первой наценки: $(200 + 2x) + (200 + 2x) \cdot \frac{x}{100}$ р.

3. Составление уравнения. Так как известна окончательная цена (338 р.), мы приравниваем полученное выражение к этому значению и получаем уравнение, которое и представлено в условии: $(200 + 2x) + (200 + 2x) \cdot \frac{x}{100} = 338$.

Решение уравнения:

Вынесем общий множитель $(200 + 2x)$ за скобки:

$(200 + 2x)(1 + \frac{x}{100}) = 338$

Вынесем 2 за скобки в первом множителе и приведем к общему знаменателю второй:

$2(100 + x)(\frac{100 + x}{100}) = 338$

$\frac{2(100 + x)^2}{100} = 338$

$\frac{(100 + x)^2}{50} = 338$

Умножим обе части на 50:

$(100 + x)^2 = 338 \cdot 50$

$(100 + x)^2 = 16900$

Извлечем квадратный корень:

$100 + x = 130$ или $100 + x = -130$

Из первого уравнения $x = 130 - 100 = 30$.

Из второго уравнения $x = -130 - 100 = -230$.

Поскольку $x$ — это процент повышения, он должен быть положительным числом. Поэтому $x = 30$.

Ответ: цена товара каждый раз повышалась на 30%.

Способ 2.

В этом способе за $x$ принимается множитель, на который увеличивалась цена. Если цена увеличивается на $p$ процентов, то она умножается на коэффициент $x = 1 + \frac{p}{100}$.

1. Первое повышение. Первоначальная цена 200 р. увеличивается в $x$ раз. Новая цена: $200 \cdot x$ р.

2. Второе повышение. Новая цена $200 \cdot x$ р. снова увеличивается в $x$ раз. Окончательная цена: $(200 \cdot x) \cdot x = 200x^2$ р.

3. Составление уравнения. Приравниваем выражение для окончательной цены к известному значению 338 р. и получаем уравнение: $200x^2 = 338$.

Решение уравнения:

$200x^2 = 338$

Разделим обе части на 200:

$x^2 = \frac{338}{200} = \frac{169}{100} = 1.69$

Извлечем квадратный корень:

$x = \sqrt{1.69} = 1.3$ или $x = -\sqrt{1.69} = -1.3$

Так как цена увеличивалась, множитель $x$ должен быть положительным (и больше 1), поэтому $x=1.3$.

Множитель $x=1.3$ означает, что цена каждый раз становилась равной 130% от предыдущей. Чтобы найти процент повышения, нужно вычесть 1 из множителя и умножить на 100:

$(1.3 - 1) \cdot 100\% = 0.3 \cdot 100\% = 30\%$

Ответ: цена товара каждый раз повышалась на 30%.