Номер 485, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 485, страница 140.

Условие.

485 В турнире шахматистов каждый из участников сыграл с каждым по одной партии, всего было сыграно 120 партий. Сколько шахматистов участвовало в турнире?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $n$ — это количество шахматистов, участвовавших в турнире. Согласно условию, каждый участник сыграл с каждым другим участником ровно одну партию. Это означает, что общее число сыгранных партий равно числу всех возможных пар игроков, которые можно составить из $n$ участников. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний из $n$ элементов по 2.

Формула для числа сочетаний из $n$ по 2 имеет вид: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.

В задаче указано, что всего было сыграно 120 партий. Используя эту информацию, мы можем составить уравнение: $\frac{n(n-1)}{2} = 120$.

Для того чтобы найти $n$, решим это уравнение. Сначала умножим обе части уравнения на 2:
$n(n-1) = 240$.
Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $an^2 + bn + c = 0$:
$n^2 - n - 240 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$n_1 = \frac{-(-1) + 31}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 31}{2} = \frac{32}{2} = 16$.
$n_2 = \frac{-(-1) - 31}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 31}{2} = \frac{-30}{2} = -15$.

Поскольку количество шахматистов не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -15$ не является решением задачи. Таким образом, единственное подходящее решение — $n=16$.

Ответ: 16