Номер 482, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 482, страница 139.

Условие.

482 Сумму $n$ последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно вычислить по формуле $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$. Определите, сколько натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы в сумме получилось 66. Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел от 1 до $n$ надо сложить, чтобы их сумма была больше 55?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Определите, сколько натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы в сумме получилось 66.

Для решения этой задачи используется формула суммы первых $n$ натуральных чисел: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$. По условию, сумма $S_n$ должна быть равна 66. Нам необходимо найти соответствующее значение $n$.

Составим и решим уравнение:

$\frac{n(n+1)}{2} = 66$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 2:

$n(n+1) = 132$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2 + bn + c = 0$:

$n^2 + n = 132$

$n^2 + n - 132 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=1$, $c=-132$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529$

Корни уравнения находятся по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$

$n_1 = \frac{-1 + 23}{2 \cdot 1} = \frac{22}{2} = 11$

$n_2 = \frac{-1 - 23}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12$

Так как $n$ представляет собой количество натуральных чисел, оно не может быть отрицательным. Поэтому корень $n_2 = -12$ не является решением задачи. Единственный подходящий корень — $n_1 = 11$.

Ответ: чтобы в сумме получилось 66, надо сложить 11 натуральных чисел, начиная с 1.

Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел от 1 до n надо сложить, чтобы их сумма была больше 55?

В этом случае нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, при котором сумма $S_n$ будет строго больше 55. Составим неравенство:

$S_n > 55$

$\frac{n(n+1)}{2} > 55$

Умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$n(n+1) > 110$

$n^2 + n > 110$

Перенесем все члены в левую часть:

$n^2 + n - 110 > 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $n^2 + n - 110 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=1$, $c=-110$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441$

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$

$n_1 = \frac{-1 + 21}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

$n_2 = \frac{-1 - 21}{2 \cdot 1} = \frac{-22}{2} = -11$

Графиком функции $y = n^2 + n - 110$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны при $n < -11$ и при $n > 10$.

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, нас интересует только промежуток $n > 10$. Наименьшее натуральное (целое положительное) число, удовлетворяющее этому условию, — это 11.

Для проверки можно вычислить суммы для $n=10$ и $n=11$:

$S_{10} = \frac{10(10+1)}{2} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$. Это значение не больше 55.

$S_{11} = \frac{11(11+1)}{2} = \frac{11 \cdot 12}{2} = 66$. Это значение больше 55.

Ответ: наименьшее число последовательных натуральных чисел, чтобы их сумма была больше 55, равно 11.