Номер 477, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 477, страница 139.

Условие.

Сделайте по условию задачи схематический рисунок и решите задачу (477–480).

477 Из металлического листа, имеющего форму прямоугольника, длина которого в 1,5 раза больше ширины, сделан открытый сверху ящик. Для этого по углам листа вырезаны квадраты со стороной 3 дм и получившиеся боковые грани загнуты. Найдите размеры листа, если объём получившегося ящика оказался равным 216 $дм^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Сделайте по условию задачи схематический рисунок

Сначала изобразим исходный прямоугольный лист металла. Пусть его ширина будет $x$ дм, тогда длина, согласно условию, составит $1.5x$ дм. Затем покажем, как из него получается развёртка ящика после вырезания по углам квадратов со стороной 3 дм.

На рисунке показана развёртка ящика. Центральная часть (голубая) — это дно будущего ящика, а боковые части (светло-голубые) — это стенки, которые будут загнуты вверх. Высота ящика будет равна стороне вырезанного квадрата, то есть 3 дм.

Решите задачу

Пусть ширина исходного металлического листа равна $x$ дм.
По условию задачи, длина листа в 1,5 раза больше ширины, следовательно, длина листа равна $1.5x$ дм.

Для изготовления ящика по углам листа вырезали квадраты со стороной 3 дм. После того как боковые грани загнули, получился открытый ящик в форме прямоугольного параллелепипеда. Определим его размеры:
Высота ящика $h$ равна стороне вырезанного квадрата: $h = 3$ дм.
Ширина дна ящика $w$ равна ширине листа минус две стороны вырезанных квадратов: $w = x - 2 \cdot 3 = x - 6$ дм.
Длина дна ящика $l$ равна длине листа минус две стороны вырезанных квадратов: $l = 1.5x - 2 \cdot 3 = 1.5x - 6$ дм.

Объём прямоугольного параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$.
Нам известно, что объём получившегося ящика равен 216 дм³. Подставим известные значения в формулу и составим уравнение:
$(1.5x - 6)(x - 6) \cdot 3 = 216$

Теперь решим полученное уравнение:
1. Разделим обе части уравнения на 3:
$(1.5x - 6)(x - 6) = 72$
2. Раскроем скобки в левой части уравнения:
$1.5x^2 - 1.5x \cdot 6 - 6x + 36 = 72$
$1.5x^2 - 9x - 6x + 36 = 72$
3. Приведём подобные слагаемые и перенесём все члены в левую часть:
$1.5x^2 - 15x + 36 - 72 = 0$
$1.5x^2 - 15x - 36 = 0$
4. Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:
$3x^2 - 30x - 72 = 0$
5. Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:
$x^2 - 10x - 24 = 0$

Получили приведённое квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$
$\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$
Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-10) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-(-10) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Так как $x$ обозначает ширину листа, эта величина не может быть отрицательной. Поэтому корень $x_2 = -2$ не является решением задачи.
Также необходимо, чтобы размеры ящика были положительными. Ширина ящика $x-6$ должна быть больше нуля, то есть $x > 6$.
Корень $x_1 = 12$ удовлетворяет этому условию ($12 > 6$).
Итак, ширина исходного листа равна 12 дм.

Теперь найдём длину листа:
Длина $= 1.5 \cdot x = 1.5 \cdot 12 = 18$ дм.

Ответ: Размеры металлического листа — 18 дм в длину и 12 дм в ширину.