Номер 470, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 470, страница 137.

Условие.

470 Один катет прямоугольного треугольника на 7 см больше другого, а периметр треугольника равен 30 см. Найдите все стороны треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен $a$, второй катет — $b$, а гипотенуза — $c$.

По условию задачи, один катет на 7 см больше другого. Обозначим длину меньшего катета за $x$ см. Тогда длина большего катета будет $(x + 7)$ см.
Итак, пусть $b = x$ см, а $a = x + 7$ см.

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.
По условию, периметр равен 30 см. Составим уравнение, подставив в него выражения для сторон через $x$ и гипотенузу $c$:
$(x+7) + x + c = 30$
$2x + 7 + c = 30$
$c = 30 - 7 - 2x = 23 - 2x$

Теперь подставим все выражения для сторон, выраженные через $x$, в теорему Пифагора:
$a^2 + b^2 = c^2$
$(x+7)^2 + x^2 = (23 - 2x)^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$x^2 + 14x + 49 + x^2 = 23^2 - 2 \cdot 23 \cdot 2x + (2x)^2$
$2x^2 + 14x + 49 = 529 - 92x + 4x^2$

Приведем подобные слагаемые и получим стандартное квадратное уравнение:
$4x^2 - 2x^2 - 92x - 14x + 529 - 49 = 0$
$2x^2 - 106x + 480 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$x^2 - 53x + 240 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-53)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240 = 2809 - 960 = 1849$
$\sqrt{D} = \sqrt{1849} = 43$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-53) + 43}{2 \cdot 1} = \frac{53 + 43}{2} = \frac{96}{2} = 48$
$x_2 = \frac{-(-53) - 43}{2 \cdot 1} = \frac{53 - 43}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Длина стороны треугольника не может быть такой, чтобы периметр был меньше суммы двух других сторон. Проверим наши корни.
Если $x_1 = 48$, то один катет равен 48 см, а второй $48+7=55$ см. Сумма только двух катетов уже $48+55=103$ см, что больше заданного периметра в 30 см. Следовательно, этот корень не является решением задачи.
Если $x_2 = 5$, то один катет равен 5 см.

Теперь найдем длины всех сторон треугольника:
Меньший катет: $b = x = 5$ см.
Больший катет: $a = x + 7 = 5 + 7 = 12$ см.
Гипотенуза: $c = 30 - a - b = 30 - 5 - 12 = 13$ см.

Выполним проверку по теореме Пифагора, чтобы убедиться, что треугольник прямоугольный:
$a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$c^2 = 13^2 = 169$
Так как $a^2 + b^2 = c^2$, то найденные стороны образуют прямоугольный треугольник. Все условия задачи выполнены.

Ответ: стороны треугольника равны 5 см, 12 см и 13 см.