Номер 467, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 467, страница 137.

Условие.

467 a) Одна из сторон стандартного листа бумаги для пишущих машинок на 9 см больше другой. Площадь листа равна $630 \text{ см}^2$. Найдите размеры листа.

б) Под аттракционы отвели площадку прямоугольной формы, одна из сторон которой на 4 м больше другой. Её площадь равна $165 \text{ м}^2$. Найдите стороны площадки.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Пусть одна из сторон листа бумаги равна $x$ см. Согласно условию, другая сторона на 9 см больше, то есть ее длина составляет $(x + 9)$ см. Лист бумаги имеет прямоугольную форму, и его площадь вычисляется как произведение длин его сторон. Площадь листа равна 630 см².

Составим уравнение:

$x \cdot (x + 9) = 630$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 9x = 630$

$x^2 + 9x - 630 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-630) = 81 + 2520 = 2601$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{2601}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 51}{2} = \frac{42}{2} = 21$

$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{2601}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 51}{2} = \frac{-60}{2} = -30$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_2 = -30$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, длина одной стороны листа равна 21 см.

Найдем длину второй стороны:

$21 + 9 = 30$ см.

Проверим: $21 \cdot 30 = 630$ см². Условие выполняется.

Ответ: размеры листа 21 см и 30 см.

б)

Пусть меньшая сторона прямоугольной площадки равна $y$ м. По условию, другая сторона на 4 м больше, значит, ее длина равна $(y + 4)$ м. Площадь площадки равна 165 м².

Составим уравнение, исходя из формулы площади прямоугольника:

$y \cdot (y + 4) = 165$

Преобразуем уравнение в квадратное:

$y^2 + 4y = 165$

$y^2 + 4y - 165 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-165) = 16 + 660 = 676$

Найдем корни уравнения по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-4 + \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 26}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$y_2 = \frac{-4 - \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 26}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Длина стороны не может быть отрицательным числом, поэтому корень $y_2 = -15$ не является решением задачи. Таким образом, длина меньшей стороны площадки равна 11 м.

Найдем длину большей стороны:

$11 + 4 = 15$ м.

Проверим: $11 \cdot 15 = 165$ м². Условие выполняется.

Ответ: стороны площадки 11 м и 15 м.