Номер 463, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 463, страница 133.

Условие.

463 Решите уравнение, используя формулу, выведенную в предыдущем задании:

а) $x^2 - 16x + 15 = 0$;

б) $x^2 + 8x - 9 = 0$;

в) $x^2 + 5x - 3 = 0$;

г) $x^2 - 9x + 20 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

В условии задачи предлагается решить квадратные уравнения, используя формулу, выведенную в предыдущем задании. Все представленные уравнения являются приведенными квадратными уравнениями вида $x^2 + px + q = 0$. Для таких уравнений существует специальная формула для нахождения корней, которая, по-видимому, и имеется в виду:

$x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

Эта формула является следствием стандартной формулы корней квадратного уравнения и особенно удобна, когда коэффициент $p$ (при $x$) — четное число.

а) $x^2 - 16x + 15 = 0$

В этом уравнении коэффициенты $p = -16$ и $q = 15$.

Подставим эти значения в формулу:

$x = -(\frac{-16}{2}) \pm \sqrt{(\frac{-16}{2})^2 - 15}$

$x = 8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 15}$

$x = 8 \pm \sqrt{64 - 15}$

$x = 8 \pm \sqrt{49}$

$x = 8 \pm 7$

Отсюда находим два корня:

$x_1 = 8 + 7 = 15$

$x_2 = 8 - 7 = 1$

Ответ: $1; 15$.

б) $x^2 + 8x - 9 = 0$

Здесь коэффициенты $p = 8$ и $q = -9$.

Подставляем значения в формулу:

$x = -(\frac{8}{2}) \pm \sqrt{(\frac{8}{2})^2 - (-9)}$

$x = -4 \pm \sqrt{4^2 + 9}$

$x = -4 \pm \sqrt{16 + 9}$

$x = -4 \pm \sqrt{25}$

$x = -4 \pm 5$

Находим два корня:

$x_1 = -4 + 5 = 1$

$x_2 = -4 - 5 = -9$

Ответ: $-9; 1$.

в) $x^2 + 5x - 3 = 0$

Здесь коэффициенты $p = 5$ и $q = -3$.

Подставляем значения в формулу:

$x = -(\frac{5}{2}) \pm \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - (-3)}$

$x = -\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} + 3}$

$x = -\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{12}{4}}$

$x = -\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{37}{4}}$

$x = -\frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{37}}{2}$

Корни можно записать в виде одной дроби:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{37}}{2}$

Ответ: $\frac{-5 \pm \sqrt{37}}{2}$.

г) $x^2 - 9x + 20 = 0$

Здесь коэффициенты $p = -9$ и $q = 20$.

Подставляем значения в формулу:

$x = -(\frac{-9}{2}) \pm \sqrt{(\frac{-9}{2})^2 - 20}$

$x = \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4} - 20}$

$x = \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4} - \frac{80}{4}}$

$x = \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

$x = \frac{9}{2} \pm \frac{1}{2}$

Находим два корня:

$x_1 = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Ответ: $4; 5$.