Номер 459, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 459, страница 133.

Условие.

ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ (459-461)

459 Решите уравнение:

a) $x + \sqrt{x} - 6 = 0;$

б) $x - \sqrt{x} + 3 = 0;$

в) $x - 4\sqrt{x} + 3 = 0;$

г) $x - 9\sqrt{x} + 20 = 0.$

Указание. а) Введите замену $\sqrt{x} = y.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x + \sqrt{x} - 6 = 0$
Данное уравнение является иррациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x \ge 0$.
Для решения введем замену переменной, как указано в подсказке. Пусть $y = \sqrt{x}$. Так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, то $y \ge 0$.
Из замены следует, что $x = (\sqrt{x})^2 = y^2$. Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$y^2 + y - 6 = 0$.
Получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Решим его, например, по теореме Виета. Нам нужны два числа, произведение которых равно $-6$, а сумма равна $-1$. Этими числами являются $2$ и $-3$.
Таким образом, корни квадратного уравнения: $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.
Теперь необходимо проверить эти корни на соответствие условию $y \ge 0$.
$y_1 = 2$ удовлетворяет условию $y \ge 0$.
$y_2 = -3$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому это посторонний корень.
Выполним обратную замену для подходящего корня $y = 2$:
$\sqrt{x} = 2$.
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$x = 2^2 = 4$.
Полученное значение $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 0$).
Проверка: подставим $x=4$ в исходное уравнение: $4 + \sqrt{4} - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$. Равенство верное.
Ответ: $4$.

б) $x - \sqrt{x} + 3 = 0$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Введем замену переменной: $y = \sqrt{x}$, где $y \ge 0$. Тогда $x = y^2$.
Подставим в уравнение:
$y^2 - y + 3 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней для $y$.
Следовательно, исходное уравнение также не имеет решений.
Ответ: нет решений.

в) $x - 4\sqrt{x} + 3 = 0$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Введем замену переменной: $y = \sqrt{x}$, где $y \ge 0$. Тогда $x = y^2$.
Подставим в уравнение:
$y^2 - 4y + 3 = 0$.
Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $4$, а их произведение равно $3$. Корнями являются числа $1$ и $3$.
$y_1 = 1$, $y_2 = 3$.
Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.
Выполним обратную замену для каждого из корней:
1) Если $y = 1$, то $\sqrt{x} = 1$, откуда $x = 1^2 = 1$.
2) Если $y = 3$, то $\sqrt{x} = 3$, откуда $x = 3^2 = 9$.
Оба значения $x=1$ и $x=9$ удовлетворяют ОДЗ.
Проверка:
При $x=1$: $1 - 4\sqrt{1} + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$. Верно.
При $x=9$: $9 - 4\sqrt{9} + 3 = 9 - 4 \cdot 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$. Верно.
Ответ: $1; 9$.

г) $x - 9\sqrt{x} + 20 = 0$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Введем замену переменной: $y = \sqrt{x}$, где $y \ge 0$. Тогда $x = y^2$.
Подставим в уравнение:
$y^2 - 9y + 20 = 0$.
Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $9$, а их произведение равно $20$. Корнями являются числа $4$ и $5$.
$y_1 = 4$, $y_2 = 5$.
Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.
Выполним обратную замену для каждого из корней:
1) Если $y = 4$, то $\sqrt{x} = 4$, откуда $x = 4^2 = 16$.
2) Если $y = 5$, то $\sqrt{x} = 5$, откуда $x = 5^2 = 25$.
Оба значения $x=16$ и $x=25$ удовлетворяют ОДЗ.
Проверка:
При $x=16$: $16 - 9\sqrt{16} + 20 = 16 - 9 \cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0$. Верно.
При $x=25$: $25 - 9\sqrt{25} + 20 = 25 - 9 \cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0$. Верно.
Ответ: $16; 25$.