Номер 460, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 460, страница 133.

Условие.

460 Решите уравнение (введите подходящую замену):

а) $(x^2 - x - 1)^2 - 10(x^2 - x - 1) + 9 = 0;$

б) $(x^2 - 4x + 3)^2 + 6(x^2 - 4x + 6) - 34 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(x^2 - x - 1)^2 - 10(x^2 - x - 1) + 9 = 0$

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $x^2 - x - 1$. Для его решения введем замену.

Пусть $t = x^2 - x - 1$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$t^2 - 10t + 9 = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2} = \frac{10 - 8}{2} = 1$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2} = \frac{10 + 8}{2} = 9$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. При $t = 1$:

$x^2 - x - 1 = 1$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D_1 = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Корни:

$x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

$x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

2. При $t = 9$:

$x^2 - x - 1 = 9$

$x^2 - x - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D_2 = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 1 + 40 = 41$

Корни:

$x_3 = \frac{1 - \sqrt{41}}{2}$

$x_4 = \frac{1 + \sqrt{41}}{2}$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-1; 2; \frac{1 - \sqrt{41}}{2}; \frac{1 + \sqrt{41}}{2}$.

б) $(x^2 - 4x + 3)^2 + 6(x^2 - 4x + 6) - 34 = 0$

Заметим, что выражения в скобках похожи. Выражение $x^2 - 4x + 6$ можно представить через $x^2 - 4x + 3$:

$x^2 - 4x + 6 = (x^2 - 4x + 3) + 3$

Введем замену: пусть $t = x^2 - 4x + 3$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$t^2 + 6(t + 3) - 34 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$t^2 + 6t + 18 - 34 = 0$

$t^2 + 6t - 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 - 10}{2} = -8$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 + 10}{2} = 2$

Теперь выполним обратную замену.

1. При $t = -8$:

$x^2 - 4x + 3 = -8$

$x^2 - 4x + 11 = 0$

Проверим, есть ли у этого уравнения действительные корни. Найдем дискриминант:

$D_1 = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 16 - 44 = -28$

Так как $D_1 < 0$, действительных корней в этом случае нет.

2. При $t = 2$:

$x^2 - 4x + 3 = 2$

$x^2 - 4x + 1 = 0$

Найдем дискриминант:

$D_2 = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$

Корни:

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

Следовательно, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3}$.