Номер 457, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 457, страница 133.

Условие.

457 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Уравнение вида

$ax^4 + bx^2 + c = 0,$

где $a \neq 0$, называется биквадратным уравнением.

Решим уравнение $x^4 + 3x^2 - 28 = 0.$

Решение. Введём замену $x^2 = y$, получим квадратное уравнение относительно $y: y^2 + 3y - 28 = 0$. Решив его, найдём корни: $y_1 = 4, y_2 = -7$. Теперь решим уравнения $x^2 = 4$ и $x^2 = -7$:

1) $x^2 = 4; x_1 = 2, x_2 = -2;$

2) $x^2 = -7$; уравнение корней не имеет.

Ответ. 2; -2.

Решите биквадратное уравнение:

а) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0;$

в) $x^4 + 15x^2 - 16 = 0;$

б) $y^4 - 5y^2 + 4 = 0;$

г) $z^4 + 5z^2 + 4 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как $x^4 = (x^2)^2 = t^2$, уравнение примет вид:

$t^2 - 13t + 36 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно переменной $t$. Можно использовать теорему Виета. Ищем два числа, произведение которых равно 36, а сумма равна 13. Это числа 4 и 9.

$t_1 = 4$, $t_2 = 9$

Оба корня положительные, поэтому возвращаемся к исходной переменной $x$ для каждого из них.

1) $x^2 = t_1 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2$.

2) $x^2 = t_2 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_3 = 3, x_4 = -3$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-3, -2, 2, 3$.

б) $y^4 - 5y^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной. Пусть $t = y^2$. Тогда $y^4 = t^2$, и уравнение можно переписать в виде:

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Корни легко находятся:

$t_1 = 1$, $t_2 = 4$

Оба корня положительные. Выполним обратную замену.

1) $y^2 = t_1 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y_1 = 1, y_2 = -1$.

2) $y^2 = t_2 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y_3 = 2, y_4 = -2$.

Уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-2, -1, 1, 2$.

в) $x^4 + 15x^2 - 16 = 0$

Сделаем замену $t = x^2$. Уравнение примет вид:

$t^2 + 15t - 16 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -16, а сумма равна -15. Этим условиям удовлетворяют числа 1 и -16.

$t_1 = 1$, $t_2 = -16$

Теперь вернемся к переменной $x$.

1) $x^2 = t_1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$.

2) $x^2 = t_2 \Rightarrow x^2 = -16$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $-1, 1$.

г) $z^4 + 5z^2 + 4 = 0$

Введем замену $t = z^2$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 + 5t + 4 = 0$

Найдем его корни. По теореме Виета, произведение корней равно 4, а сумма равна -5. Отсюда находим корни:

$t_1 = -1$, $t_2 = -4$

Выполним обратную замену.

1) $z^2 = t_1 \Rightarrow z^2 = -1$. Уравнение не имеет действительных корней.

2) $z^2 = t_2 \Rightarrow z^2 = -4$. Уравнение не имеет действительных корней.

Так как оба значения $t$ отрицательны, исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.