Номер 450, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 450, страница 132.

Условие.

Решите уравнение (450–451).

450 а) $(x - 2)(x - 6) = 5;$

б) $(y - 2)(y + 5) = -12;$

в) $(x - 3)^2 = 5 - x;$

г) $6x - 20 = (x - 6)^2;$

д) $(3x - 2)(x + 6) = -9;$

е) $(u + 3)(u - 4) = -10;$

ж) $(x + 4)^2 = 7 - 2x;$

з) $(z + 6)^2 = 8(3z + 8).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $(x - 2)(x - 6) = 5$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 - 6x - 2x + 12 = 5$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 8x + 12 - 5 = 0$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1, b=-8, c=7$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: 1; 7.

б)

Исходное уравнение: $(y - 2)(y + 5) = -12$.

Раскроем скобки:

$y^2 + 5y - 2y - 10 = -12$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$y^2 + 3y - 10 + 12 = 0$

$y^2 + 3y + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=3, c=2$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Найдем корни уравнения $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: -2; -1.

в)

Исходное уравнение: $(x - 3)^2 = 5 - x$.

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = 5 - x$

$x^2 - 6x + 9 = 5 - x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 6x + x + 9 - 5 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=-5, c=4$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: 1; 4.

г)

Исходное уравнение: $6x - 20 = (x - 6)^2$.

Раскроем скобки в правой части:

$6x - 20 = x^2 - 12x + 36$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 = x^2 - 12x - 6x + 36 + 20$

$x^2 - 18x + 56 = 0$

Решим квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=-18, c=56$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 324 - 224 = 100$

Найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-18) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 10}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$x_2 = \frac{-(-18) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 10}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Ответ: 4; 14.

д)

Исходное уравнение: $(3x - 2)(x + 6) = -9$.

Раскроем скобки:

$3x^2 + 18x - 2x - 12 = -9$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$3x^2 + 16x - 12 + 9 = 0$

$3x^2 + 16x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение с коэффициентами $a=3, b=16, c=-3$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 256 + 36 = 292$

Найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-16 \pm \sqrt{292}}{2 \cdot 3} = \frac{-16 \pm \sqrt{4 \cdot 73}}{6} = \frac{-16 \pm 2\sqrt{73}}{6} = \frac{2(-8 \pm \sqrt{73})}{6} = \frac{-8 \pm \sqrt{73}}{3}$

$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{73}}{3}$

$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{73}}{3}$

Ответ: $\frac{-8 - \sqrt{73}}{3}$; $\frac{-8 + \sqrt{73}}{3}$.

е)

Исходное уравнение: $(u + 3)(u - 4) = -10$.

Раскроем скобки:

$u^2 - 4u + 3u - 12 = -10$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$u^2 - u - 12 + 10 = 0$

$u^2 - u - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=-1, c=-2$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни уравнения $u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$u_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$u_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: -1; 2.

ж)

Исходное уравнение: $(x + 4)^2 = 7 - 2x$.

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + 8x + 16 = 7 - 2x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 8x + 2x + 16 - 7 = 0$

$x^2 + 10x + 9 = 0$

Решим квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=10, c=9$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$

Найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 8}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Ответ: -9; -1.

з)

Исходное уравнение: $(z + 6)^2 = 8(3z + 8)$.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$z^2 + 12z + 36 = 24z + 64$

Перенесем все члены в левую часть:

$z^2 + 12z - 24z + 36 - 64 = 0$

$z^2 - 12z - 28 = 0$

Решим квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=-12, c=-28$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 144 + 112 = 256$

Найдем корни уравнения $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 16}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$z_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 16}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: -2; 14.