Номер 449, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 449, страница 132.

Условие.

449 ДЕЙСТВУЕМ ПО ФОРМУЛЕ Решите уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения с чётным коэффициентом при x:

а) $x^2 + 6x - 27 = 0;$

б) $3x^2 + 10x - 8 = 0;$

в) $5x^2 = 6x + 8;$

г) $3x^2 + 13x = 2x^2 - x - 49;$

д) $2x^2 + 3x = 42 - 5x;$

е) $6x + 24 = 9x^2;$

ж) $16x^2 = 16x + 5;$

з) $-5x^2 + 20 = 14x - 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дано уравнение: $x^2 + 6x - 27 = 0$.
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=1$, $b=6$, $c=-27$.
Поскольку коэффициент $b=6$ является чётным, используем формулу для корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$.
Находим $k$: $k = \frac{6}{2} = 3$.
Вычисляем дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = 3^2 - 1 \cdot (-27) = 9 + 27 = 36$.
Находим корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{36}}{1} = -3 \pm 6$.
$x_1 = -3 - 6 = -9$.
$x_2 = -3 + 6 = 3$.
Ответ: $-9; 3$.

б)

Дано уравнение: $3x^2 + 10x - 8 = 0$.
Коэффициенты: $a=3$, $b=10$, $c=-8$.
Коэффициент $b=10$ — чётный. Находим $k = \frac{b}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Вычисляем $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = 5^2 - 3 \cdot (-8) = 25 + 24 = 49$.
Находим корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{3} = \frac{-5 \pm 7}{3}$.
$x_1 = \frac{-5 - 7}{3} = \frac{-12}{3} = -4$.
$x_2 = \frac{-5 + 7}{3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $-4; \frac{2}{3}$.

в)

Исходное уравнение: $5x^2 = 6x + 8$.
Приведём уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$5x^2 - 6x - 8 = 0$.
Коэффициенты: $a=5$, $b=-6$, $c=-8$.
Коэффициент $b=-6$ — чётный. Находим $k = \frac{b}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Вычисляем $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-3)^2 - 5 \cdot (-8) = 9 + 40 = 49$.
Находим корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{5} = \frac{3 \pm 7}{5}$.
$x_1 = \frac{3 - 7}{5} = -\frac{4}{5}$.
$x_2 = \frac{3 + 7}{5} = \frac{10}{5} = 2$.
Ответ: $-\frac{4}{5}; 2$.

г)

Исходное уравнение: $3x^2 + 13x = 2x^2 - x - 49$.
Приведём уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:
$3x^2 - 2x^2 +