Страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

449 ДЕЙСТВУЕМ ПО ФОРМУЛЕ Решите уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения с чётным коэффициентом при x:

а) $x^2 + 6x - 27 = 0;$

б) $3x^2 + 10x - 8 = 0;$

в) $5x^2 = 6x + 8;$

г) $3x^2 + 13x = 2x^2 - x - 49;$

д) $2x^2 + 3x = 42 - 5x;$

е) $6x + 24 = 9x^2;$

ж) $16x^2 = 16x + 5;$

з) $-5x^2 + 20 = 14x - 4.$

Дано уравнение: $x^2 + 6x - 27 = 0$.
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=1$, $b=6$, $c=-27$.
Поскольку коэффициент $b=6$ является чётным, используем формулу для корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$.
Находим $k$: $k = \frac{6}{2} = 3$.
Вычисляем дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = 3^2 - 1 \cdot (-27) = 9 + 27 = 36$.
Находим корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{36}}{1} = -3 \pm 6$.
$x_1 = -3 - 6 = -9$.
$x_2 = -3 + 6 = 3$.
Ответ: $-9; 3$.

Дано уравнение: $3x^2 + 10x - 8 = 0$.
Коэффициенты: $a=3$, $b=10$, $c=-8$.
Коэффициент $b=10$ — чётный. Находим $k = \frac{b}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Вычисляем $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = 5^2 - 3 \cdot (-8) = 25 + 24 = 49$.
Находим корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{3} = \frac{-5 \pm 7}{3}$.
$x_1 = \frac{-5 - 7}{3} = \frac{-12}{3} = -4$.
$x_2 = \frac{-5 + 7}{3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $-4; \frac{2}{3}$.

Исходное уравнение: $5x^2 = 6x + 8$.
Приведём уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$5x^2 - 6x - 8 = 0$.
Коэффициенты: $a=5$, $b=-6$, $c=-8$.
Коэффициент $b=-6$ — чётный. Находим $k = \frac{b}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Вычисляем $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-3)^2 - 5 \cdot (-8) = 9 + 40 = 49$.
Находим корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{5} = \frac{3 \pm 7}{5}$.
$x_1 = \frac{3 - 7}{5} = -\frac{4}{5}$.
$x_2 = \frac{3 + 7}{5} = \frac{10}{5} = 2$.
Ответ: $-\frac{4}{5}; 2$.

Исходное уравнение: $3x^2 + 13x = 2x^2 - x - 49$.
Приведём уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:
$3x^2 - 2x^2 +

Решите уравнение (450–451).

450 а) $(x - 2)(x - 6) = 5;$

б) $(y - 2)(y + 5) = -12;$

в) $(x - 3)^2 = 5 - x;$

г) $6x - 20 = (x - 6)^2;$

д) $(3x - 2)(x + 6) = -9;$

е) $(u + 3)(u - 4) = -10;$

ж) $(x + 4)^2 = 7 - 2x;$

з) $(z + 6)^2 = 8(3z + 8).$

а)

Исходное уравнение: $(x - 2)(x - 6) = 5$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 - 6x - 2x + 12 = 5$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 8x + 12 - 5 = 0$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1, b=-8, c=7$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: 1; 7.

б)

Исходное уравнение: $(y - 2)(y + 5) = -12$.

Раскроем скобки:

$y^2 + 5y - 2y - 10 = -12$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$y^2 + 3y - 10 + 12 = 0$

$y^2 + 3y + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=3, c=2$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Найдем корни уравнения $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: -2; -1.

в)

Исходное уравнение: $(x - 3)^2 = 5 - x$.

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = 5 - x$

$x^2 - 6x + 9 = 5 - x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 6x + x + 9 - 5 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=-5, c=4$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: 1; 4.

г)

Исходное уравнение: $6x - 20 = (x - 6)^2$.

Раскроем скобки в правой части:

$6x - 20 = x^2 - 12x + 36$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 = x^2 - 12x - 6x + 36 + 20$

$x^2 - 18x + 56 = 0$

Решим квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=-18, c=56$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 324 - 224 = 100$

Найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-18) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 10}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$x_2 = \frac{-(-18) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 10}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Ответ: 4; 14.

д)

Исходное уравнение: $(3x - 2)(x + 6) = -9$.

Раскроем скобки:

$3x^2 + 18x - 2x - 12 = -9$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$3x^2 + 16x - 12 + 9 = 0$

$3x^2 + 16x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение с коэффициентами $a=3, b=16, c=-3$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 256 + 36 = 292$

Найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-16 \pm \sqrt{292}}{2 \cdot 3} = \frac{-16 \pm \sqrt{4 \cdot 73}}{6} = \frac{-16 \pm 2\sqrt{73}}{6} = \frac{2(-8 \pm \sqrt{73})}{6} = \frac{-8 \pm \sqrt{73}}{3}$

$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{73}}{3}$

$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{73}}{3}$

Ответ: $\frac{-8 - \sqrt{73}}{3}$; $\frac{-8 + \sqrt{73}}{3}$.

е)

Исходное уравнение: $(u + 3)(u - 4) = -10$.

Раскроем скобки:

$u^2 - 4u + 3u - 12 = -10$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$u^2 - u - 12 + 10 = 0$

$u^2 - u - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=-1, c=-2$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни уравнения $u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$u_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$u_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: -1; 2.

ж)

Исходное уравнение: $(x + 4)^2 = 7 - 2x$.

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + 8x + 16 = 7 - 2x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 8x + 2x + 16 - 7 = 0$

$x^2 + 10x + 9 = 0$

Решим квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=10, c=9$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$

Найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 8}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Ответ: -9; -1.

з)

Исходное уравнение: $(z + 6)^2 = 8(3z + 8)$.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$z^2 + 12z + 36 = 24z + 64$

Перенесем все члены в левую часть:

$z^2 + 12z - 24z + 36 - 64 = 0$

$z^2 - 12z - 28 = 0$

Решим квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=-12, c=-28$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 144 + 112 = 256$

Найдем корни уравнения $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 16}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$z_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 16}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: -2; 14.

451 a) $0,3x^2 + 1,6x - 1,2 = 0;$

б) $x^2 - \frac{2}{3}x = \frac{8}{3};$

В) $\frac{z^2+z}{2}=15;$

Г) $x^2+1=\frac{5x}{2};$

Д) $0,1y^2 - 0,9y + 0,8 = 0;$

е) $\frac{7}{20} - \frac{1}{5}x = x^2;$

Ж) $5x^2 = \frac{1-5x}{10};$

З) $\frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{2}x = 3.$

а) $0,3x^2 + 1,6x - 1,2 = 0$
Для удобства вычислений умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$10 \cdot (0,3x^2 + 1,6x - 1,2) = 10 \cdot 0$
$3x^2 + 16x - 12 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=3$, $b=16$, $c=-12$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-16 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$x_2 = \frac{-16 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{-36}{6} = -6$
Ответ: $-6; \frac{2}{3}$.

б) $x^2 - \frac{2}{3}x = \frac{8}{3}$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{8}{3} = 0$
Умножим все уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей:
$3x^2 - 2x - 8 = 0$
Здесь $a=3$, $b=-2$, $c=-8$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$
$\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-2) + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2$
$x_2 = \frac{-(-2) - 10}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$
Ответ: $2; -\frac{4}{3}$.

в) $\frac{z^2 + z}{2} = 15$
Умножим обе части уравнения на 2:
$z^2 + z = 30$
Перенесем 30 в левую часть:
$z^2 + z - 30 = 0$
Здесь $a=1$, $b=1$, $c=-30$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121$
$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$
Найдем корни:
$z_1 = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$
$z_2 = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-12}{2} = -6$
Ответ: $5; -6$.

г) $x^2 + 1 = \frac{5x}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$2(x^2 + 1) = 5x$
$2x^2 + 2 = 5x$
Перенесем $5x$ в левую часть:
$2x^2 - 5x + 2 = 0$
Здесь $a=2$, $b=-5$, $c=2$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-5) + 3}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$x_2 = \frac{-(-5) - 3}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Ответ: $2; \frac{1}{2}$.

д) $0,1y^2 - 0,9y + 0,8 = 0$
Умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$y^2 - 9y + 8 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. Решим через дискриминант. Здесь $a=1$, $b=-9$, $c=8$.
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-(-9) + 7}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$y_2 = \frac{-(-9) - 7}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Ответ: $1; 8$.

е) $\frac{7}{20} - \frac{1}{5}x = x^2$
Перенесем все члены в правую часть и запишем уравнение в стандартном виде:
$x^2 + \frac{1}{5}x - \frac{7}{20} = 0$
Умножим все уравнение на 20 (наименьший общий знаменатель), чтобы избавиться от дробей:
$20x^2 + 4x - 7 = 0$
Здесь $a=20$, $b=4$, $c=-7$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$
$D = 4^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-7) = 16 + 560 = 576$
$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-4 + 24}{2 \cdot 20} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-4 - 24}{2 \cdot 20} = \frac{-28}{40} = -\frac{7}{10}$
Ответ: $\frac{1}{2}; -\frac{7}{10}$.

ж) $5x^2 = \frac{1-5x}{10}$
Умножим обе части уравнения на 10:
$50x^2 = 1 - 5x$
Перенесем все члены в левую часть:
$50x^2 + 5x - 1 = 0$
Здесь $a=50$, $b=5$, $c=-1$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$
$D = 5^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-1) = 25 + 200 = 225$
$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-5 + 15}{2 \cdot 50} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$
$x_2 = \frac{-5 - 15}{2 \cdot 50} = \frac{-20}{100} = -\frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{10}; -\frac{1}{5}$.

з) $\frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{2}x = 3$
Перенесем 3 в левую часть:
$\frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{2}x - 3 = 0$
Умножим все уравнение на 6 (наименьший общий знаменатель для 3 и 2), чтобы избавиться от дробей:
$6 \cdot (\frac{1}{3}x^2) + 6 \cdot (\frac{3}{2}x) - 6 \cdot 3 = 0$
$2x^2 + 9x - 18 = 0$
Здесь $a=2$, $b=9$, $c=-18$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$
$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225$
$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{-9 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6$
Ответ: $\frac{3}{2}; -6$.

452 Найдите значения переменной $a$, при которых:

a) значение выражения $5a^2 + 5a - 6$ равно 24;

б) значение выражения $a(a - 4)$ равно 60.

а) Чтобы найти значения переменной $a$, при которых значение выражения $5a^2 + 5a - 6$ равно 24, необходимо составить и решить уравнение:
$5a^2 + 5a - 6 = 24$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $Ax^2 + Bx + C = 0$:
$5a^2 + 5a - 6 - 24 = 0$
$5a^2 + 5a - 30 = 0$
Для упрощения разделим обе части уравнения на 5:
$a^2 + a - 6 = 0$
Теперь решим полученное приведённое квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где коэффициенты $a=1, b=1, c=-6$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$a_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$a_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Следовательно, искомые значения переменной $a$ равны 2 и -3.
Ответ: -3; 2.

б) Чтобы найти значения переменной $a$, при которых значение выражения $a(a - 4)$ равно 60, составим и решим уравнение:
$a(a - 4) = 60$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:
$a^2 - 4a = 60$
$a^2 - 4a - 60 = 0$
Это приведённое квадратное уравнение. Решим его, вычислив дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где коэффициенты $a=1, b=-4, c=-60$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$a_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$a_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 16}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
Следовательно, искомые значения переменной $a$ равны 10 и -6.
Ответ: -6; 10.

Решите уравнение (453–456).

453 a) $15x^2 - 34x + 15 = 0;$

б) $29x^2 + 34x + 5 = 0.$

а) $15x^2 - 34x + 15 = 0$

Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Для его решения воспользуемся формулой корней через дискриминант.

Определим коэффициенты уравнения:

$a = 15$, $b = -34$, $c = 15$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-34)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 15 = 1156 - 900 = 256$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.

Вычисляем корни:

$x_1 = \frac{-(-34) + 16}{2 \cdot 15} = \frac{34 + 16}{30} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.

$x_2 = \frac{-(-34) - 16}{2 \cdot 15} = \frac{34 - 16}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $x_1 = \frac{5}{3}$; $x_2 = \frac{3}{5}$.

б) $29x^2 + 34x + 5 = 0$

Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Решим его с помощью дискриминанта.

Определим коэффициенты уравнения:

$a = 29$, $b = 34$, $c = 5$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 34^2 - 4 \cdot 29 \cdot 5 = 1156 - 580 = 576$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$.

Вычисляем корни:

$x_1 = \frac{-34 + 24}{2 \cdot 29} = \frac{-10}{58} = -\frac{5}{29}$.

$x_2 = \frac{-34 - 24}{2 \cdot 29} = \frac{-58}{58} = -1$.

Ответ: $x_1 = -1$; $x_2 = -\frac{5}{29}$.

454 a) $(x - 5)(x + 2) = x(5 - x);$

б) $(y + 2)^2 = y(3y + 2);$

В) $3(z - 2)^2 = 2z + 4;$

Г) $5 - 4x = 4(x - 1)^2.$

а) $(x - 5)(x + 2) = x(5 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 + 2x - 5x - 10 = 5x - x^2$

$x^2 - 3x - 10 = 5x - x^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 3x - 10 - 5x + x^2 = 0$

$2x^2 - 8x - 10 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $x_1 = 5$, $x_2 = -1$.

б) $(y + 2)^2 = y(3y + 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$y^2 + 4y + 4 = 3y^2 + 2y$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:

$0 = 3y^2 + 2y - (y^2 + 4y + 4)$

$0 = 3y^2 + 2y - y^2 - 4y - 4$

$2y^2 - 2y - 4 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$y^2 - y - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $y_1 = 2$, $y_2 = -1$.

в) $3(z - 2)^2 = 2z + 4$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$3(z^2 - 4z + 4) = 2z + 4$

$3z^2 - 12z + 12 = 2z + 4$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$3z^2 - 12z + 12 - 2z - 4 = 0$

$3z^2 - 14z + 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 - 96 = 100$

Найдем корни уравнения:

$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{14 + 10}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{14 - 10}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $z_1 = 4$, $z_2 = \frac{2}{3}$.

г) $5 - 4x = 4(x - 1)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$5 - 4x = 4(x^2 - 2x + 1)$

$5 - 4x = 4x^2 - 8x + 4$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = 4x^2 - 8x + 4 - (5 - 4x)$

$0 = 4x^2 - 8x + 4 - 5 + 4x$

$4x^2 - 4x - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 16 + 16 = 32$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{32}}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 4\sqrt{2}}{8} = \frac{4(1 + \sqrt{2})}{8} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{32}}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 4\sqrt{2}}{8} = \frac{4(1 - \sqrt{2})}{8} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$.

455 a) $(x-4)^2 = \frac{40-6x}{3}$;

б) $\frac{(x-3)^2}{5} = (x-1)^2$.

а) $(x-4)^2 = \frac{40 - 6x}{3}$

Для решения данного уравнения сначала избавимся от знаменателя. Для этого умножим обе части уравнения на 3:

$3(x-4)^2 = 40 - 6x$

Далее раскроем скобки. В левой части применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$3(x^2 - 8x + 16) = 40 - 6x$

Теперь раскроем скобки в левой части, умножив каждый член на 3:

$3x^2 - 24x + 48 = 40 - 6x$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы привести уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 - 24x + 6x + 48 - 40 = 0$

Приведем подобные члены:

$3x^2 - 18x + 8 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=3$, $b=-18$, $c=8$.

$D = (-18)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 324 - 96 = 228$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{228} = \sqrt{4 \cdot 57} = 2\sqrt{57}$.

$x_{1,2} = \frac{-(-18) \pm 2\sqrt{57}}{2 \cdot 3} = \frac{18 \pm 2\sqrt{57}}{6}$

Сократим полученную дробь на 2:

$x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{3}$

Ответ: $x_1 = \frac{9 + \sqrt{57}}{3}$, $x_2 = \frac{9 - \sqrt{57}}{3}$.

б) $\frac{(x-3)^2}{5} = (x-1)^2$

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

$(x-3)^2 = 5(x-1)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 6x + 9 = 5(x^2 - 2x + 1)$

Раскроем скобки в правой части:

$x^2 - 6x + 9 = 5x^2 - 10x + 5$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные, чтобы получить уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$0 = (5x^2 - x^2) + (-10x + 6x) + (5 - 9)$

$0 = 4x^2 - 4x - 4$

Разделим все уравнение на 4 для упрощения:

$x^2 - x - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=1$, $b=-1$, $c=-1$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

456 a) $x^2 - 2\sqrt{5}x + 5 = 0$;
Б) $x^2 + 2\sqrt{7}x + 7 = 0$;
В) $x^2 + 2\sqrt{6}x - 18 = 0$;
Г) $x^2 - 2\sqrt{2}x - 6 = 0$.

Указание. Воспользуйтесь формулой корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

а) Для уравнения $x^2 - 2\sqrt{5}x + 5 = 0$ коэффициенты: $a=1$, $b=-2\sqrt{5}$, $c=5$.
Второй коэффициент $b$ является чётным, так как $b=2k$, где $k = -\sqrt{5}$.
Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом: $x = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$.
Вычислим дискриминант, деленный на четыре ($D_1$):
$D_1 = k^2 - ac = (-\sqrt{5})^2 - 1 \cdot 5 = 5 - 5 = 0$.
Поскольку $D_1 = 0$, уравнение имеет один корень:
$x = \frac{-k}{a} = \frac{-(-\sqrt{5})}{1} = \sqrt{5}$.
Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $x^2 - 2x\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (x - \sqrt{5})^2$. Уравнение $(x - \sqrt{5})^2 = 0$ имеет один корень $x = \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{5}$.

б) Для уравнения $x^2 + 2\sqrt{7}x + 7 = 0$ коэффициенты: $a=1$, $b=2\sqrt{7}$, $c=7$.
Второй коэффициент $b$ является чётным, $k = \frac{b}{2} = \sqrt{7}$.
Вычислим $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (\sqrt{7})^2 - 1 \cdot 7 = 7 - 7 = 0$.
Поскольку $D_1 = 0$, уравнение имеет один корень:
$x = \frac{-k}{a} = \frac{-\sqrt{7}}{1} = -\sqrt{7}$.
Аналогично предыдущему пункту, левая часть — это полный квадрат: $(x + \sqrt{7})^2 = 0$, откуда $x = -\sqrt{7}$.
Ответ: $-\sqrt{7}$.

в) Для уравнения $x^2 + 2\sqrt{6}x - 18 = 0$ коэффициенты: $a=1$, $b=2\sqrt{6}$, $c=-18$.
Второй коэффициент $b$ является чётным, $k = \frac{b}{2} = \sqrt{6}$.
Вычислим $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (\sqrt{6})^2 - 1 \cdot (-18) = 6 + 18 = 24$.
Поскольку $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x_{1,2} = \frac{-\sqrt{6} \pm \sqrt{24}}{1} = -\sqrt{6} \pm \sqrt{4 \cdot 6} = -\sqrt{6} \pm 2\sqrt{6}$.
$x_1 = -\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = \sqrt{6}$.
$x_2 = -\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = -3\sqrt{6}$.
Ответ: $-3\sqrt{6}; \sqrt{6}$.

г) Для уравнения $x^2 - 2\sqrt{2}x - 6 = 0$ коэффициенты: $a=1$, $b=-2\sqrt{2}$, $c=-6$.
Второй коэффициент $b$ является чётным, $k = \frac{b}{2} = -\sqrt{2}$.
Вычислим $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-\sqrt{2})^2 - 1 \cdot (-6) = 2 + 6 = 8$.
Поскольку $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-\sqrt{2}) \pm \sqrt{8}}{1} = \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{2} \pm 2\sqrt{2}$.
$x_1 = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
$x_2 = \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}$.
Ответ: $-\sqrt{2}; 3\sqrt{2}$.