Страница 134 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

464 ИССЛЕДУЕМ

1) а) Дано уравнение $2x^2 - 7x + 3 = 0$. Запишите новое уравнение, поменяв местами в данном уравнении коэффициенты $a$ и $c$. Решите оба уравнения. Как связаны между собой их корни?

б) Докажите, что если числа $m$ и $n$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$ и $c \neq 0$), то корнями уравнения $cx^2 + bx + a = 0$ являются числа $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$.

Указание. Для доказательства воспользуйтесь подстановкой чисел $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$ в соответствующее уравнение.

в) Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. Проверьте себя, решив эти уравнения.

2) а) Решите уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$ и $2x^2 - 3x - 5 = 0$. Как связаны между собой их корни?

б) Докажите, что если квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет корни $m$ и $n$, то корни уравнения $ax^2 - bx + c = 0$ — числа $-m$ и $-n$.

в) Составьте квадратное уравнение, корни которого противоположны корням уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$. Проверьте себя, решив оба уравнения.

1) а)

Исходное уравнение: $2x^2 - 7x + 3 = 0$. В этом уравнении коэффициенты: $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$.

Чтобы записать новое уравнение, поменяем местами коэффициенты $a$ и $c$. Новые коэффициенты будут $a_{новое} = 3$, $b_{новое} = -7$, $c_{новое} = 2$.

Новое уравнение: $3x^2 - 7x + 2 = 0$.

Теперь решим оба уравнения.

Решение уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$:

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}$.

$x_1 = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$;

$x_2 = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Решение уравнения $3x^2 - 7x + 2 = 0$:

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 5}{6}$.

$x_1 = \frac{7+5}{6} = \frac{12}{6} = 2$;

$x_2 = \frac{7-5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Корни первого уравнения ($3$ и $\frac{1}{2}$) и корни второго уравнения ($\frac{1}{3}$ и $2$) являются взаимно обратными числами. То есть, если корни первого уравнения $x_1$ и $x_2$, то корни второго — $\frac{1}{x_1}$ и $\frac{1}{x_2}$.

Ответ: Новое уравнение: $3x^2 - 7x + 2 = 0$. Корни первого уравнения: $3$ и $\frac{1}{2}$. Корни второго уравнения: $\frac{1}{3}$ и $2$. Корни второго уравнения являются обратными к корням первого.

1) б)

Пусть числа $m$ и $n$ являются корнями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$ и $c \neq 0$. Это означает, что при подстановке $m$ или $n$ в уравнение, оно обращается в верное равенство:

$am^2 + bm + c = 0$

$an^2 + bn + c = 0$

Нам нужно доказать, что числа $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$ являются корнями уравнения $cx^2 + bx + a = 0$.

Поскольку $c \neq 0$, то из равенства $am^2 + bm + c = 0$ следует, что $m \neq 0$ (иначе $c=0$, что противоречит условию). Аналогично, $n \neq 0$.

Подставим $x = \frac{1}{m}$ в левую часть уравнения $cx^2 + bx + a = 0$:

$c\left(\frac{1}{m}\right)^2 + b\left(\frac{1}{m}\right) + a = \frac{c}{m^2} + \frac{b}{m} + a$

Приведем выражение к общему знаменателю $m^2$:

$\frac{c}{m^2} + \frac{bm}{m^2} + \frac{am^2}{m^2} = \frac{c + bm + am^2}{m^2}$

Так как $m$ — корень исходного уравнения, мы знаем, что $am^2 + bm + c = 0$. Следовательно, числитель дроби равен нулю:

$\frac{0}{m^2} = 0$

Это доказывает, что $\frac{1}{m}$ является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$.

Аналогично докажем для $\frac{1}{n}$. Подставим $x = \frac{1}{n}$ в уравнение $cx^2 + bx + a = 0$:

$c\left(\frac{1}{n}\right)^2 + b\left(\frac{1}{n}\right) + a = \frac{c}{n^2} + \frac{b}{n} + a = \frac{c + bn + an^2}{n^2}$

Поскольку $n$ — корень исходного уравнения, $an^2 + bn + c = 0$. Значит, выражение равно $\frac{0}{n^2} = 0$.

Таким образом, $\frac{1}{n}$ также является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

1) в)

Дано уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. Его коэффициенты: $a=1, b=-5, c=6$.

Чтобы составить квадратное уравнение, корни которого обратны корням данного, мы можем, согласно доказанному в пункте б), поменять местами коэффициенты $a$ и $c$.

Новые коэффициенты будут $a_{новое} = c = 6$, $b_{новое} = b = -5$, $c_{новое} = a = 1$.

Искомое уравнение: $6x^2 - 5x + 1 = 0$.

Проверка:

1. Решим уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а произведение равно $6$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

2. Числа, обратные этим корням: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$.

3. Решим уравнение $6x^2 - 5x + 1 = 0$. $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$. Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{12}$, то есть $x_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Корни второго уравнения действительно являются обратными к корням первого. Проверка прошла успешно.

Ответ: Искомое уравнение: $6x^2 - 5x + 1 = 0$.

2) а)

Решим оба уравнения.

1. Решение уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$x_{1,2} = \frac{-3 \pm 7}{4}$. Корни: $x_1 = \frac{4}{4} = 1$, $x_2 = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$.

2. Решение уравнения $2x^2 - 3x - 5 = 0$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$x_{1,2} = \frac{3 \pm 7}{4}$. Корни: $x_1 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$, $x_2 = \frac{-4}{4} = -1$.

Корни первого уравнения: $1$ и $-\frac{5}{2}$. Корни второго уравнения: $-1$ и $\frac{5}{2}$.

Связь между корнями: корни второго уравнения являются противоположными по знаку корням первого уравнения.

Ответ: Корни уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$ равны $1$ и $-\frac{5}{2}$. Корни уравнения $2x^2 - 3x - 5 = 0$ равны $-1$ и $\frac{5}{2}$. Корни второго уравнения противоположны корням первого.

2) б)

Пусть числа $m$ и $n$ являются корнями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Это означает, что:

$am^2 + bm + c = 0$

$an^2 + bn + c = 0$

Нам нужно доказать, что числа $-m$ и $-n$ являются корнями уравнения $ax^2 - bx + c = 0$.

Подставим $x = -m$ в левую часть уравнения $ax^2 - bx + c = 0$:

$a(-m)^2 - b(-m) + c = a(m^2) + bm + c = am^2 + bm + c$.

Так как $m$ — корень исходного уравнения, мы знаем, что $am^2 + bm + c = 0$.

Следовательно, $a(-m)^2 - b(-m) + c = 0$. Это доказывает, что $-m$ является корнем уравнения $ax^2 - bx + c = 0$.

Аналогично докажем для $-n$. Подставим $x = -n$ в уравнение $ax^2 - bx + c = 0$:

$a(-n)^2 - b(-n) + c = a(n^2) + bn + c = an^2 + bn + c$.

Поскольку $n$ — корень исходного уравнения, $an^2 + bn + c = 0$.

Следовательно, $a(-n)^2 - b(-n) + c = 0$. Это доказывает, что $-n$ также является корнем уравнения $ax^2 - bx + c = 0$.

Ответ: Утверждение доказано.

2) в)

Дано уравнение $2x^2 - x - 1 = 0$. Его коэффициенты: $a=2, b=-1, c=-1$.

Чтобы составить квадратное уравнение, корни которого противоположны корням данного, мы можем, согласно доказанному в пункте б), изменить знак коэффициента $b$.

Новые коэффициенты будут $a_{новое} = a = 2$, $b_{новое} = -b = -(-1) = 1$, $c_{новое} = c = -1$.

Искомое уравнение: $2x^2 + x - 1 = 0$.

Проверка:

1. Решим уравнение $2x^2 - x - 1 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{4}$, то есть $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{1}{2}$.

2. Числа, противоположные этим корням: $-1$ и $\frac{1}{2}$.

3. Решим уравнение $2x^2 + x - 1 = 0$. $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$, то есть $x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = -1$.

Корни второго уравнения действительно являются противоположными к корням первого. Проверка прошла успешно.

Ответ: Искомое уравнение: $2x^2 + x - 1 = 0$.