Страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

472 Число диагоналей выпуклого $n$-угольника равно $\frac{n(n-3)}{2}$. Существует ли многоугольник, в котором 77 диагоналей? 25 диагоналей? Если существует, то укажите число его сторон.

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения числа диагоналей $D$ выпуклого $n$-угольника: $D = \frac{n(n-3)}{2}$. Чтобы многоугольник существовал, число его сторон $n$ должно быть целым числом, большим или равным 3 ($n \in \mathbb{N}, n \ge 3$). Проверим оба случая, подставляя заданное число диагоналей в формулу.

Существует ли многоугольник, в котором 77 диагоналей?

Приравняем число диагоналей к 77 и решим уравнение относительно $n$:

$\frac{n(n-3)}{2} = 77$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$n(n-3) = 154$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2 + bn + c = 0$:

$n^2 - 3n - 154 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D_{ур}$:

$D_{ур} = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-154) = 9 + 616 = 625$

Поскольку дискриминант положителен ($D_{ур} > 0$), уравнение имеет два корня. Найдём их:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{D_{ур}}}{2a}$

$n_1 = \frac{3 + \sqrt{625}}{2} = \frac{3 + 25}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$n_2 = \frac{3 - \sqrt{625}}{2} = \frac{3 - 25}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Число сторон многоугольника $n$ должно быть целым положительным числом не менее 3. Корень $n_2 = -11$ не удовлетворяет этому условию. Корень $n_1 = 14$ является натуральным числом, большим 3. Следовательно, многоугольник с 77 диагоналями существует.

Ответ: да, существует; это многоугольник с 14 сторонами.

Существует ли многоугольник, в котором 25 диагоналей?

Аналогично первому случаю, приравняем число диагоналей к 25:

$\frac{n(n-3)}{2} = 25$

Умножим обе части на 2:

$n(n-3) = 50$

Приведём уравнение к квадратному виду:

$n^2 - 3n - 50 = 0$

Вычислим дискриминант:

$D_{ур} = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 9 + 200 = 209$

Корень из дискриминанта $\sqrt{209}$ не является целым числом (так как $14^2 = 196$, а $15^2 = 225$). Это означает, что корни уравнения $n = \frac{3 \pm \sqrt{209}}{2}$ не будут целыми числами.

Поскольку число сторон многоугольника $n$ по определению должно быть целым числом, многоугольник с 25 диагоналями не может существовать.

Ответ: нет, не существует.

473 Тысячи лет назад пифагорейцы исследовали фигурные числа, и в частности треугольные числа, которые изображаются в виде треугольников (рис. 3.4).

Треугольное число с номером n равно $ \frac{n(n+1)}{2} $.

Рис. 3.4

Есть ли среди треугольных чисел число 30? число 120? Если есть, укажите его номер.

Чтобы определить, являются ли числа 30 и 120 треугольными, мы воспользуемся общей формулой для n-го треугольного числа, которая дана в условии задачи:

$T_n = \frac{n(n+1)}{2}$

Здесь $n$ — это номер треугольного числа, и он должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Мы подставим заданные числа в эту формулу и попробуем найти для них соответствующий номер $n$.

число 30

Проверим, существует ли такое натуральное число $n$, для которого треугольное число равно 30.

$\frac{n(n+1)}{2} = 30$

Умножим обе части уравнения на 2:

$n(n+1) = 60$

Раскроем скобки и перенесем 60 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$n^2 + n - 60 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a=1$, $b=1$, $c=-60$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 1 + 240 = 241$

Поскольку номер $n$ должен быть натуральным числом, дискриминант $D$ должен быть полным квадратом целого числа. Однако 241 не является полным квадратом ($15^2 = 225$, а $16^2 = 256$). Следовательно, корни уравнения $n^2 + n - 60 = 0$ не являются целыми числами. Это означает, что не существует такого натурального числа $n$, для которого число 30 является треугольным.

Ответ: число 30 не является треугольным числом.

число 120

Теперь проверим, существует ли такое натуральное число $n$, для которого треугольное число равно 120.

$\frac{n(n+1)}{2} = 120$

Умножим обе части уравнения на 2:

$n(n+1) = 240$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$n^2 + n - 240 = 0$

Найдем дискриминант. Здесь $a=1$, $b=1$, $c=-240$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$

Проверим, является ли 961 полным квадратом. Мы знаем, что $30^2 = 900$, поэтому проверим $31^2$.

$31^2 = 961$. Да, является. Значит, $\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n = \frac{-1 \pm 31}{2}$

У нас есть два корня:

$n_1 = \frac{-1 + 31}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$n_2 = \frac{-1 - 31}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку номер треугольного числа $n$ должен быть натуральным (положительным целым) числом, корень $n_2 = -16$ не подходит. Остается один корень $n_1 = 15$.

Таким образом, число 120 является треугольным числом, и его номер равен 15.

Ответ: да, число 120 является треугольным числом. Его номер $n=15$.

474 Если тело падает вниз и начальная скорость падения равна $v$ м/с, то расстояние, которое оно пролетит за $t$ с, вычисляется приближённо по формуле $h = vt + 5t^2$. Используя эту формулу, решите задачу (ответ округлите до десятых):

а) Камень брошен с 80-метровой башни со скоростью 7 м/с. Через сколько секунд он упадёт на землю?

б) С самолёта, летящего на высоте 700 м, на льдину сброшен груз с начальной скоростью 30 м/с. Через сколько секунд груз достигнет льдины?

а) Для решения этой задачи воспользуемся данной формулой $h = vt + 5t^2$. Нам известны высота башни, которая является расстоянием падения $h = 80$ м, и начальная скорость камня $v = 7$ м/с. Нам необходимо найти время $t$. Подставим известные значения в формулу:
$80 = 7t + 5t^2$
Мы получили квадратное уравнение. Перепишем его в стандартном виде $at^2 + bt + c = 0$:
$5t^2 + 7t - 80 = 0$
Решим это уравнение, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения, где $a=5$, $b=7$, $c=-80$:
$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$t = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-80)}}{2 \cdot 5}$
$t = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 1600}}{10}$
$t = \frac{-7 \pm \sqrt{1649}}{10}$
Так как время $t$ не может быть отрицательной величиной, мы рассматриваем только корень со знаком плюс:
$t = \frac{-7 + \sqrt{1649}}{10} \approx \frac{-7 + 40,608}{10} \approx \frac{33,608}{10} \approx 3,3608$
Согласно условию, ответ нужно округлить до десятых.
$t \approx 3,4$ с.
Ответ: 3,4 с.

б) В данном случае расстояние падения (высота) $h = 700$ м, а начальная скорость груза $v = 30$ м/с. Найдем время падения $t$, подставив значения в ту же формулу:
$700 = 30t + 5t^2$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$5t^2 + 30t - 700 = 0$
Для удобства вычислений можно разделить все члены уравнения на 5:
$t^2 + 6t - 140 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение, где $a=1$, $b=6$, $c=-140$:
$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$t = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-140)}}{2 \cdot 1}$
$t = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 560}}{2}$
$t = \frac{-6 \pm \sqrt{596}}{2}$
Время не может быть отрицательным, поэтому выбираем положительный корень:
$t = \frac{-6 + \sqrt{596}}{2} \approx \frac{-6 + 24,413}{2} \approx \frac{18,413}{2} \approx 9,2065$
Округлим результат до десятых:
$t \approx 9,2$ с.
Ответ: 9,2 с.

475 Если тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $v$ м/с, то высота, на которой оно окажется через $t$ с, может быть приближённо найдена по формуле $h = vt - 5t^2$. Используя эту формулу, решите задачу:

а) Футболист на тренировке подбрасывает ногой мяч вертикально вверх. Если он подбросил мяч, сообщив ему начальную скорость 15 м/с, то через сколько секунд мяч окажется в 10 м над землёй?

б) Футболист, подбрасывая мяч ногой, сообщил ему начальную скорость 20 м/с. Взлетит ли мяч выше берёзы, высота которой 15 м? Взлетит ли он выше дома, высота которого 22 м?

а) Для решения задачи используем заданную формулу высоты: $h = vt - 5t^2$.

По условию, начальная скорость мяча $v = 15$ м/с, а высота, на которой он должен оказаться, $h = 10$ м. Подставим эти значения в формулу:

$10 = 15t - 5t^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5t^2 - 15t + 10 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Его можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Таким образом, мяч окажется на высоте 10 метров дважды: через 1 секунду после броска (при движении вверх) и через 2 секунды после броска (при движении вниз).

Ответ: мяч окажется на высоте 10 м через 1 секунду и через 2 секунды.

б) В этом случае начальная скорость мяча $v = 20$ м/с. Формула для высоты полета мяча в зависимости от времени $t$ имеет вид:

$h(t) = 20t - 5t^2$

Чтобы определить, взлетит ли мяч выше березы (15 м) и дома (22 м), нужно найти максимальную высоту, на которую он поднимется. Функция $h(t) = -5t^2 + 20t$ является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимальное значение функции достигается в вершине параболы.

Найдем время $t_0$, в которое достигается максимальная высота, по формуле для абсциссы вершины параболы $t_0 = -\frac{b}{2a}$:

$t_0 = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2$ с.

Теперь найдем максимальную высоту $h_{max}$, подставив $t_0 = 2$ в формулу для высоты:

$h_{max} = 20(2) - 5(2)^2 = 40 - 5 \cdot 4 = 40 - 20 = 20$ м.

Сравним максимальную высоту полета мяча с высотой березы и дома:

1. Высота березы 15 м. Так как $20 \text{ м} > 15 \text{ м}$, мяч взлетит выше березы.

2. Высота дома 22 м. Так как $20 \text{ м} < 22 \text{ м}$, мяч не взлетит выше дома.

Ответ: мяч взлетит выше берёзы, но не взлетит выше дома.

476 Футболист на тренировке подбрасывает головой мяч вертикально вверх. Если он подбросит мяч, сообщив ему начальную скорость $10 \, \text{м/с}$, то через сколько секунд мяч окажется в $6 \, \text{м}$ над землёй? (Рост футболиста считайте равным $200 \, \text{см}$, ответ дайте приближённо с одним знаком после запятой.)

Для решения этой задачи мы будем использовать уравнение движения для тела, брошенного вертикально вверх. Высота $h$ тела над поверхностью земли в любой момент времени $t$ описывается следующей кинематической формулой:

$h(t) = h_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$

В этой формуле $h_0$ — это начальная высота, с которой бросают тело, $v_0$ — начальная скорость, а $a$ — ускорение. В нашем случае движение происходит под действием силы тяжести, поэтому ускорение $a$ равно ускорению свободного падения $g$, направленному вниз. Если мы выберем направление вверх как положительное, то $a = -g$. Примем значение $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$.

Согласно условиям задачи, у нас есть следующие данные:

1. Начальная скорость мяча: $v_0 = 10 \, \text{м/с}$.

2. Начальная высота мяча: мяч подбрасывают головой, поэтому начальная высота равна росту футболиста. Переведем сантиметры в метры: $h_0 = 200 \, \text{см} = 2 \, \text{м}$.

3. Конечная высота мяча: мы ищем время, когда мяч окажется на высоте $h(t) = 6 \, \text{м}$.

Теперь подставим все известные значения в уравнение движения:

$6 = 2 + 10t - \frac{9.8t^2}{2}$

Упростим это уравнение:

$6 = 2 + 10t - 4.9t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $At^2 + Bt + C = 0$:

$4.9t^2 - 10t + 6 - 2 = 0$

$4.9t^2 - 10t + 4 = 0$

Для нахождения времени $t$ решим это квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для нахождения корней:

$t = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$

В нашем уравнении коэффициенты равны: $A = 4.9$, $B = -10$, $C = 4$.

Сначала вычислим дискриминант $D$:

$D = B^2 - 4AC = (-10)^2 - 4 \cdot 4.9 \cdot 4 = 100 - 78.4 = 21.6$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это физически означает, что мяч окажется на высоте 6 метров дважды: первый раз, когда будет лететь вверх, и второй раз, когда будет падать вниз.

Найдем эти два момента времени:

$t_{1,2} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{21.6}}{2 \cdot 4.9} = \frac{10 \pm \sqrt{21.6}}{9.8}$

Вычислим значение $\sqrt{21.6} \approx 4.648$.

Первый корень (меньшее значение времени, соответствует движению вверх):

$t_1 = \frac{10 - 4.648}{9.8} = \frac{5.352}{9.8} \approx 0.546 \, \text{с}$

Второй корень (большее значение времени, соответствует движению вниз):

$t_2 = \frac{10 + 4.648}{9.8} = \frac{14.648}{9.8} \approx 1.495 \, \text{с}$

В условии задачи требуется дать ответ приближенно с одним знаком после запятой. Округлим полученные значения:

$t_1 \approx 0.5 \, \text{с}$

$t_2 \approx 1.5 \, \text{с}$

Ответ: мяч окажется на высоте 6 м над землей примерно через 0,5 с и 1,5 с.