Номер 473, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 473, страница 138.

Условие.

473 Тысячи лет назад пифагорейцы исследовали фигурные числа, и в частности треугольные числа, которые изображаются в виде треугольников (рис. 3.4).

Треугольное число с номером n равно $ \frac{n(n+1)}{2} $.

Рис. 3.4

Есть ли среди треугольных чисел число 30? число 120? Если есть, укажите его номер.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить, являются ли числа 30 и 120 треугольными, мы воспользуемся общей формулой для n-го треугольного числа, которая дана в условии задачи:

$T_n = \frac{n(n+1)}{2}$

Здесь $n$ — это номер треугольного числа, и он должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Мы подставим заданные числа в эту формулу и попробуем найти для них соответствующий номер $n$.

число 30

Проверим, существует ли такое натуральное число $n$, для которого треугольное число равно 30.

$\frac{n(n+1)}{2} = 30$

Умножим обе части уравнения на 2:

$n(n+1) = 60$

Раскроем скобки и перенесем 60 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$n^2 + n - 60 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a=1$, $b=1$, $c=-60$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 1 + 240 = 241$

Поскольку номер $n$ должен быть натуральным числом, дискриминант $D$ должен быть полным квадратом целого числа. Однако 241 не является полным квадратом ($15^2 = 225$, а $16^2 = 256$). Следовательно, корни уравнения $n^2 + n - 60 = 0$ не являются целыми числами. Это означает, что не существует такого натурального числа $n$, для которого число 30 является треугольным.

Ответ: число 30 не является треугольным числом.

число 120

Теперь проверим, существует ли такое натуральное число $n$, для которого треугольное число равно 120.

$\frac{n(n+1)}{2} = 120$

Умножим обе части уравнения на 2:

$n(n+1) = 240$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$n^2 + n - 240 = 0$

Найдем дискриминант. Здесь $a=1$, $b=1$, $c=-240$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$

Проверим, является ли 961 полным квадратом. Мы знаем, что $30^2 = 900$, поэтому проверим $31^2$.

$31^2 = 961$. Да, является. Значит, $\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n = \frac{-1 \pm 31}{2}$

У нас есть два корня:

$n_1 = \frac{-1 + 31}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$n_2 = \frac{-1 - 31}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку номер треугольного числа $n$ должен быть натуральным (положительным целым) числом, корень $n_2 = -16$ не подходит. Остается один корень $n_1 = 15$.

Таким образом, число 120 является треугольным числом, и его номер равен 15.

Ответ: да, число 120 является треугольным числом. Его номер $n=15$.