Номер 471, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 471, страница 137.

Условие.

471 Две дороги пересекаются под прямым углом. От перекрёстка одновременно отъехали два велосипедиста, один в южном направлении, а другой в восточном. Скорость второго была на $4 \text{ км/ч}$ больше скорости первого. Через час расстояние между ними оказалось равным $20 \text{ км}$. Определите скорость каждого велосипедиста.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть скорость первого велосипедиста, который ехал в южном направлении, равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость второго велосипедиста, который ехал в восточном направлении, была на 4 км/ч больше, то есть она равна $(x + 4)$ км/ч.

За время $t = 1$ час первый велосипедист проехал расстояние $S_1 = v \cdot t = x \cdot 1 = x$ км. Второй велосипедист за то же время проехал расстояние $S_2 = (x + 4) \cdot 1 = x + 4$ км.

Так как дороги пересекаются под прямым углом, пути велосипедистов представляют собой катеты прямоугольного треугольника. Расстояние между ними через час — это гипотенуза этого треугольника, которая по условию равна 20 км.

Воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$). Составим уравнение:
$S_1^2 + S_2^2 = 20^2$
$x^2 + (x + 4)^2 = 400$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Раскроем скобки:
$x^2 + (x^2 + 8x + 16) = 400$
$2x^2 + 8x + 16 = 400$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$2x^2 + 8x + 16 - 400 = 0$
$2x^2 + 8x - 384 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на 2:
$x^2 + 4x - 192 = 0$

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$
$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$

Теперь найдем значения $x$:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 28}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 28}{2 \cdot 1} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -16$ не соответствует условию задачи. Следовательно, скорость первого велосипедиста равна 12 км/ч.

Найдем скорость второго велосипедиста:
$x + 4 = 12 + 4 = 16$ км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста — 12 км/ч, скорость второго — 16 км/ч.