Номер 476, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 476, страница 138.

Условие.

476 Футболист на тренировке подбрасывает головой мяч вертикально вверх. Если он подбросит мяч, сообщив ему начальную скорость $10 \, \text{м/с}$, то через сколько секунд мяч окажется в $6 \, \text{м}$ над землёй? (Рост футболиста считайте равным $200 \, \text{см}$, ответ дайте приближённо с одним знаком после запятой.)

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи мы будем использовать уравнение движения для тела, брошенного вертикально вверх. Высота $h$ тела над поверхностью земли в любой момент времени $t$ описывается следующей кинематической формулой:

$h(t) = h_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$

В этой формуле $h_0$ — это начальная высота, с которой бросают тело, $v_0$ — начальная скорость, а $a$ — ускорение. В нашем случае движение происходит под действием силы тяжести, поэтому ускорение $a$ равно ускорению свободного падения $g$, направленному вниз. Если мы выберем направление вверх как положительное, то $a = -g$. Примем значение $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$.

Согласно условиям задачи, у нас есть следующие данные:

1. Начальная скорость мяча: $v_0 = 10 \, \text{м/с}$.

2. Начальная высота мяча: мяч подбрасывают головой, поэтому начальная высота равна росту футболиста. Переведем сантиметры в метры: $h_0 = 200 \, \text{см} = 2 \, \text{м}$.

3. Конечная высота мяча: мы ищем время, когда мяч окажется на высоте $h(t) = 6 \, \text{м}$.

Теперь подставим все известные значения в уравнение движения:

$6 = 2 + 10t - \frac{9.8t^2}{2}$

Упростим это уравнение:

$6 = 2 + 10t - 4.9t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $At^2 + Bt + C = 0$:

$4.9t^2 - 10t + 6 - 2 = 0$

$4.9t^2 - 10t + 4 = 0$

Для нахождения времени $t$ решим это квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для нахождения корней:

$t = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$

В нашем уравнении коэффициенты равны: $A = 4.9$, $B = -10$, $C = 4$.

Сначала вычислим дискриминант $D$:

$D = B^2 - 4AC = (-10)^2 - 4 \cdot 4.9 \cdot 4 = 100 - 78.4 = 21.6$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это физически означает, что мяч окажется на высоте 6 метров дважды: первый раз, когда будет лететь вверх, и второй раз, когда будет падать вниз.

Найдем эти два момента времени:

$t_{1,2} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{21.6}}{2 \cdot 4.9} = \frac{10 \pm \sqrt{21.6}}{9.8}$

Вычислим значение $\sqrt{21.6} \approx 4.648$.

Первый корень (меньшее значение времени, соответствует движению вверх):

$t_1 = \frac{10 - 4.648}{9.8} = \frac{5.352}{9.8} \approx 0.546 \, \text{с}$

Второй корень (большее значение времени, соответствует движению вниз):

$t_2 = \frac{10 + 4.648}{9.8} = \frac{14.648}{9.8} \approx 1.495 \, \text{с}$

В условии задачи требуется дать ответ приближенно с одним знаком после запятой. Округлим полученные значения:

$t_1 \approx 0.5 \, \text{с}$

$t_2 \approx 1.5 \, \text{с}$

Ответ: мяч окажется на высоте 6 м над землей примерно через 0,5 с и 1,5 с.