Номер 478, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 478, страница 139.

Условие.

478 На участке прямоугольной формы со сторонами 7 м и 6 м хотят разместить прямоугольную клумбу площадью $12 \text{ м}^2$ так, чтобы ширина образовавшейся вокруг клумбы дорожки была везде одинаковой. Какую ширину должна иметь дорожка?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть ширина дорожки, которую нужно найти, равна $x$ метров. Размеры всего участка — 7 м на 6 м.

Клумба расположена внутри участка, и вокруг нее есть дорожка одинаковой ширины $x$. Это значит, что длина и ширина клумбы будут меньше длины и ширины участка на $2x$ (поскольку дорожка находится с двух противоположных сторон).

Таким образом, размеры клумбы будут:

• Длина клумбы: $7 - 2x$ (метров)
• Ширина клумбы: $6 - 2x$ (метров)

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. По условию задачи, площадь клумбы составляет 12 м². Составим уравнение на основе этих данных:

$(7 - 2x)(6 - 2x) = 12$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки:

$42 - 14x - 12x + 4x^2 = 12$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4x^2 - 26x + 42 - 12 = 0$

$4x^2 - 26x + 30 = 0$

Мы можем упростить уравнение, разделив все его члены на 2:

$2x^2 - 13x + 15 = 0$

Для нахождения корней этого уравнения воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 169 - 120 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 7}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 7}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$

Мы получили два математически верных решения: $x=5$ и $x=1.5$. Однако нам нужно проверить, оба ли они подходят по смыслу задачи. Ширина дорожки $x$ не может быть такой большой, чтобы размеры клумбы стали отрицательными. Проверим оба корня, подставив их в выражения для сторон клумбы.

Ширина участка — 6 м, поэтому ширина дорожки $x$ должна быть меньше половины этой стороны, то есть $x < 3$.

• Если $x = 5$ м, то это значение не подходит, так как $5 > 3$. Ширина клумбы была бы $6 - 2 \cdot 5 = 6 - 10 = -4$ м, что физически невозможно.
• Если $x = 1.5$ м, то это значение подходит, так как $1.5 < 3$. Размеры клумбы в этом случае будут: длина $7 - 2 \cdot 1.5 = 4$ м и ширина $6 - 2 \cdot 1.5 = 3$ м. Площадь клумбы составит $4 \cdot 3 = 12$ м², что полностью соответствует условию задачи.

Следовательно, ширина дорожки должна быть 1,5 метра.

Ответ: ширина дорожки должна быть 1,5 м.