Номер 480, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 480, страница 139.

Условие.

480 Витрина магазина имеет размер $3 \times 4$ м. При окраске здания на стекло по периметру витрины наклеили защитную бумажную ленту, чтобы не закрасить стекло. Лента закрыла площадь, равную половине площади витрины. Найдите ширину бумажной ленты.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $x$ — искомая ширина бумажной ленты в метрах. Витрина представляет собой прямоугольник с размерами 3 м и 4 м.

1. Вычислим общую площадь витрины ($S_{общ}$):
$S_{общ} = 3 \text{ м} \times 4 \text{ м} = 12 \text{ м}^2$.

2. Согласно условию задачи, площадь, которую закрыла защитная лента ($S_{ленты}$), составляет половину от общей площади витрины:
$S_{ленты} = \frac{1}{2} S_{общ} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \text{ м}^2$.

3. Площадь стекла, не закрытая лентой ($S_{внутр}$), также равна половине общей площади:
$S_{внутр} = S_{общ} - S_{ленты} = 12 - 6 = 6 \text{ м}^2$.

4. Поскольку лента наклеена по всему периметру, незакрытая часть стекла также имеет форму прямоугольника. Его стороны будут короче исходных сторон витрины на две ширины ленты (по одной ширине с каждой стороны). Таким образом, размеры внутреннего прямоугольника составляют $(4 - 2x)$ м и $(3 - 2x)$ м.

5. Площадь этого внутреннего прямоугольника равна произведению его сторон:
$S_{внутр} = (4 - 2x)(3 - 2x)$.

6. Теперь мы можем составить уравнение, приравняв выражение для площади внутреннего прямоугольника к ее известному значению:
$(4 - 2x)(3 - 2x) = 6$.

7. Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$12 - 8x - 6x + 4x^2 = 6$
$4x^2 - 14x + 12 - 6 = 0$
$4x^2 - 14x + 6 = 0$
Для упрощения вычислений разделим все уравнение на 2:
$2x^2 - 7x + 3 = 0$.

8. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$
$\sqrt{D} = 5$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-7) + 5}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{-(-7) - 5}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$.

9. Проанализируем полученные результаты. Ширина ленты $x$ не может быть больше половины меньшей стороны витрины, так как в этом случае размеры внутреннего прямоугольника станут отрицательными. Меньшая сторона равна 3 м, значит $2x < 3$, или $x < 1,5$ м. Корень $x_1 = 3$ м не удовлетворяет этому условию ($3 > 1,5$), поэтому он не является решением задачи. Корень $x_2 = 0,5$ м удовлетворяет условию ($0,5 < 1,5$). Следовательно, это и есть искомая ширина ленты.

Ответ: 0,5 м.