Страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Сделайте по условию задачи схематический рисунок и решите задачу (477–480).

477 Из металлического листа, имеющего форму прямоугольника, длина которого в 1,5 раза больше ширины, сделан открытый сверху ящик. Для этого по углам листа вырезаны квадраты со стороной 3 дм и получившиеся боковые грани загнуты. Найдите размеры листа, если объём получившегося ящика оказался равным 216 $дм^3$.

Сделайте по условию задачи схематический рисунок

Сначала изобразим исходный прямоугольный лист металла. Пусть его ширина будет $x$ дм, тогда длина, согласно условию, составит $1.5x$ дм. Затем покажем, как из него получается развёртка ящика после вырезания по углам квадратов со стороной 3 дм.

На рисунке показана развёртка ящика. Центральная часть (голубая) — это дно будущего ящика, а боковые части (светло-голубые) — это стенки, которые будут загнуты вверх. Высота ящика будет равна стороне вырезанного квадрата, то есть 3 дм.

Решите задачу

Пусть ширина исходного металлического листа равна $x$ дм.
По условию задачи, длина листа в 1,5 раза больше ширины, следовательно, длина листа равна $1.5x$ дм.

Для изготовления ящика по углам листа вырезали квадраты со стороной 3 дм. После того как боковые грани загнули, получился открытый ящик в форме прямоугольного параллелепипеда. Определим его размеры:
Высота ящика $h$ равна стороне вырезанного квадрата: $h = 3$ дм.
Ширина дна ящика $w$ равна ширине листа минус две стороны вырезанных квадратов: $w = x - 2 \cdot 3 = x - 6$ дм.
Длина дна ящика $l$ равна длине листа минус две стороны вырезанных квадратов: $l = 1.5x - 2 \cdot 3 = 1.5x - 6$ дм.

Объём прямоугольного параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$.
Нам известно, что объём получившегося ящика равен 216 дм³. Подставим известные значения в формулу и составим уравнение:
$(1.5x - 6)(x - 6) \cdot 3 = 216$

Теперь решим полученное уравнение:
1. Разделим обе части уравнения на 3:
$(1.5x - 6)(x - 6) = 72$
2. Раскроем скобки в левой части уравнения:
$1.5x^2 - 1.5x \cdot 6 - 6x + 36 = 72$
$1.5x^2 - 9x - 6x + 36 = 72$
3. Приведём подобные слагаемые и перенесём все члены в левую часть:
$1.5x^2 - 15x + 36 - 72 = 0$
$1.5x^2 - 15x - 36 = 0$
4. Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:
$3x^2 - 30x - 72 = 0$
5. Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:
$x^2 - 10x - 24 = 0$

Получили приведённое квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$
$\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$
Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-10) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-(-10) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Так как $x$ обозначает ширину листа, эта величина не может быть отрицательной. Поэтому корень $x_2 = -2$ не является решением задачи.
Также необходимо, чтобы размеры ящика были положительными. Ширина ящика $x-6$ должна быть больше нуля, то есть $x > 6$.
Корень $x_1 = 12$ удовлетворяет этому условию ($12 > 6$).
Итак, ширина исходного листа равна 12 дм.

Теперь найдём длину листа:
Длина $= 1.5 \cdot x = 1.5 \cdot 12 = 18$ дм.

Ответ: Размеры металлического листа — 18 дм в длину и 12 дм в ширину.

478 На участке прямоугольной формы со сторонами 7 м и 6 м хотят разместить прямоугольную клумбу площадью $12 \text{ м}^2$ так, чтобы ширина образовавшейся вокруг клумбы дорожки была везде одинаковой. Какую ширину должна иметь дорожка?

Пусть ширина дорожки, которую нужно найти, равна $x$ метров. Размеры всего участка — 7 м на 6 м.

Клумба расположена внутри участка, и вокруг нее есть дорожка одинаковой ширины $x$. Это значит, что длина и ширина клумбы будут меньше длины и ширины участка на $2x$ (поскольку дорожка находится с двух противоположных сторон).

Таким образом, размеры клумбы будут:

• Длина клумбы: $7 - 2x$ (метров)
• Ширина клумбы: $6 - 2x$ (метров)

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. По условию задачи, площадь клумбы составляет 12 м². Составим уравнение на основе этих данных:

$(7 - 2x)(6 - 2x) = 12$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки:

$42 - 14x - 12x + 4x^2 = 12$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4x^2 - 26x + 42 - 12 = 0$

$4x^2 - 26x + 30 = 0$

Мы можем упростить уравнение, разделив все его члены на 2:

$2x^2 - 13x + 15 = 0$

Для нахождения корней этого уравнения воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 169 - 120 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 7}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 7}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$

Мы получили два математически верных решения: $x=5$ и $x=1.5$. Однако нам нужно проверить, оба ли они подходят по смыслу задачи. Ширина дорожки $x$ не может быть такой большой, чтобы размеры клумбы стали отрицательными. Проверим оба корня, подставив их в выражения для сторон клумбы.

Ширина участка — 6 м, поэтому ширина дорожки $x$ должна быть меньше половины этой стороны, то есть $x < 3$.

• Если $x = 5$ м, то это значение не подходит, так как $5 > 3$. Ширина клумбы была бы $6 - 2 \cdot 5 = 6 - 10 = -4$ м, что физически невозможно.
• Если $x = 1.5$ м, то это значение подходит, так как $1.5 < 3$. Размеры клумбы в этом случае будут: длина $7 - 2 \cdot 1.5 = 4$ м и ширина $6 - 2 \cdot 1.5 = 3$ м. Площадь клумбы составит $4 \cdot 3 = 12$ м², что полностью соответствует условию задачи.

Следовательно, ширина дорожки должна быть 1,5 метра.

Ответ: ширина дорожки должна быть 1,5 м.

479 В парке имеется детский бассейн прямоугольной формы со сторонами 6 м и 9 м. Он окружён прогулочной дорожкой, ширина которой везде одинакова. Площадь дорожки равна площади бассейна. Найдите ширину дорожки.

Пусть ширина прогулочной дорожки равна $x$ метров. Так как дорожка окружает бассейн со всех сторон, то ее ширина добавляется с каждой стороны.

Размеры бассейна 6 м и 9 м. Его площадь $S_{бассейна}$ равна:

$S_{бассейна} = 6 \cdot 9 = 54$ м²

По условию задачи, площадь дорожки $S_{дорожки}$ равна площади бассейна:

$S_{дорожки} = 54$ м²

Бассейн вместе с дорожкой образуют больший прямоугольник. Его стороны будут равны:

Длина: $9 + x + x = 9 + 2x$ м

Ширина: $6 + x + x = 6 + 2x$ м

Общая площадь $S_{общая}$, которую занимают бассейн и дорожка вместе, равна произведению этих сторон:

$S_{общая} = (9 + 2x)(6 + 2x)$

Также общая площадь равна сумме площади бассейна и площади дорожки:

$S_{общая} = S_{бассейна} + S_{дорожки} = 54 + 54 = 108$ м²

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для общей площади:

$(9 + 2x)(6 + 2x) = 108$

Раскроем скобки:

$54 + 18x + 12x + 4x^2 = 108$

Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$4x^2 + 30x + 54 - 108 = 0$

$4x^2 + 30x - 54 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 2:

$2x^2 + 15x - 27 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 225 + 216 = 441$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 \pm \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{-15 \pm 21}{4}$

$x_1 = \frac{-15 + 21}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$

$x_2 = \frac{-15 - 21}{4} = \frac{-36}{4} = -9$

Поскольку ширина дорожки $x$ не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -9$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, ширина дорожки составляет 1,5 метра.

Ответ: 1,5 м.

480 Витрина магазина имеет размер $3 \times 4$ м. При окраске здания на стекло по периметру витрины наклеили защитную бумажную ленту, чтобы не закрасить стекло. Лента закрыла площадь, равную половине площади витрины. Найдите ширину бумажной ленты.

Пусть $x$ — искомая ширина бумажной ленты в метрах. Витрина представляет собой прямоугольник с размерами 3 м и 4 м.

1. Вычислим общую площадь витрины ($S_{общ}$):
$S_{общ} = 3 \text{ м} \times 4 \text{ м} = 12 \text{ м}^2$.

2. Согласно условию задачи, площадь, которую закрыла защитная лента ($S_{ленты}$), составляет половину от общей площади витрины:
$S_{ленты} = \frac{1}{2} S_{общ} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \text{ м}^2$.

3. Площадь стекла, не закрытая лентой ($S_{внутр}$), также равна половине общей площади:
$S_{внутр} = S_{общ} - S_{ленты} = 12 - 6 = 6 \text{ м}^2$.

4. Поскольку лента наклеена по всему периметру, незакрытая часть стекла также имеет форму прямоугольника. Его стороны будут короче исходных сторон витрины на две ширины ленты (по одной ширине с каждой стороны). Таким образом, размеры внутреннего прямоугольника составляют $(4 - 2x)$ м и $(3 - 2x)$ м.

5. Площадь этого внутреннего прямоугольника равна произведению его сторон:
$S_{внутр} = (4 - 2x)(3 - 2x)$.

6. Теперь мы можем составить уравнение, приравняв выражение для площади внутреннего прямоугольника к ее известному значению:
$(4 - 2x)(3 - 2x) = 6$.

7. Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$12 - 8x - 6x + 4x^2 = 6$
$4x^2 - 14x + 12 - 6 = 0$
$4x^2 - 14x + 6 = 0$
Для упрощения вычислений разделим все уравнение на 2:
$2x^2 - 7x + 3 = 0$.

8. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$
$\sqrt{D} = 5$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-7) + 5}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{-(-7) - 5}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$.

9. Проанализируем полученные результаты. Ширина ленты $x$ не может быть больше половины меньшей стороны витрины, так как в этом случае размеры внутреннего прямоугольника станут отрицательными. Меньшая сторона равна 3 м, значит $2x < 3$, или $x < 1,5$ м. Корень $x_1 = 3$ м не удовлетворяет этому условию ($3 > 1,5$), поэтому он не является решением задачи. Корень $x_2 = 0,5$ м удовлетворяет условию ($0,5 < 1,5$). Следовательно, это и есть искомая ширина ленты.

Ответ: 0,5 м.

481 Существует ли прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются последовательными чётными числами? последовательными нечётными числами?

последовательными чётными числами

Пусть стороны прямоугольного треугольника — это три последовательных чётных числа. Мы можем обозначить их как $2n-2$, $2n$ и $2n+2$, где $n$ — натуральное число, $n > 1$ (чтобы длины сторон были положительными). Гипотенуза является самой длинной стороной, поэтому она равна $2n+2$, а катеты — $2n-2$ и $2n$.

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$ (2n-2)^2 + (2n)^2 = (2n+2)^2 $

Раскроем скобки и решим уравнение:

$ (4n^2 - 8n + 4) + 4n^2 = 4n^2 + 8n + 4 $

Упростим выражение, собрав все члены в левой части:

$ 8n^2 - 4n^2 - 8n - 8n + 4 - 4 = 0 $

$ 4n^2 - 16n = 0 $

Вынесем общий множитель $4n$ за скобки:

$ 4n(n - 4) = 0 $

Это уравнение имеет два корня: $n = 0$ и $n = 4$.

Корень $n=0$ не подходит, так как в этом случае одна из сторон будет отрицательной ($2 \cdot 0 - 2 = -2$), а другая — нулевой ($2 \cdot 0 = 0$), что невозможно для сторон треугольника.

При $n=4$ мы получаем следующие длины сторон:

• Катет 1: $2 \cdot 4 - 2 = 6$
• Катет 2: $2 \cdot 4 = 8$
• Гипотенуза: $2 \cdot 4 + 2 = 10$

Мы получили стороны 6, 8, 10. Проверим, удовлетворяют ли они теореме Пифагора:

$ 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 $

$ 10^2 = 100 $

Равенство $100 = 100$ верно, следовательно, такой треугольник существует.

Ответ: Да, существует. Стороны такого треугольника равны 6, 8 и 10.

последовательными нечётными числами

Пусть стороны прямоугольного треугольника $a, b, c$ являются тремя последовательными нечётными числами. Гипотенуза $c$ будет наибольшим из этих чисел, а катеты — $a$ и $b$.

Согласно теореме Пифагора, должно выполняться равенство:

$ a^2 + b^2 = c^2 $

Проанализируем чётность чисел в этом равенстве.

Квадрат любого нечётного числа всегда является нечётным числом. Это можно показать так: $(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$, что по определению является нечётным числом.

Поскольку $a$, $b$ и $c$ — нечётные числа, то их квадраты $a^2$, $b^2$ и $c^2$ также являются нечётными числами.

Рассмотрим левую часть уравнения, $a^2 + b^2$. Это сумма двух нечётных чисел. Сумма двух нечётных чисел всегда даёт чётное число (например, $(2k+1) + (2m+1) = 2k + 2m + 2 = 2(k+m+1)$, что является чётным числом).

Таким образом, мы получаем противоречие в уравнении Пифагора:

$ \underbrace{a^2}_{\text{нечётное}} + \underbrace{b^2}_{\text{нечётное}} = \underbrace{c^2}_{\text{нечётное}} $

В результате получаем:

$ \text{чётное} = \text{нечётное} $

Такое равенство невозможно. Следовательно, не существует прямоугольного треугольника, стороны которого выражаются последовательными нечётными числами.

Ответ: Нет, не существует.

482 Сумму $n$ последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно вычислить по формуле $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$. Определите, сколько натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы в сумме получилось 66. Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел от 1 до $n$ надо сложить, чтобы их сумма была больше 55?

Определите, сколько натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы в сумме получилось 66.

Для решения этой задачи используется формула суммы первых $n$ натуральных чисел: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$. По условию, сумма $S_n$ должна быть равна 66. Нам необходимо найти соответствующее значение $n$.

Составим и решим уравнение:

$\frac{n(n+1)}{2} = 66$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 2:

$n(n+1) = 132$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2 + bn + c = 0$:

$n^2 + n = 132$

$n^2 + n - 132 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=1$, $c=-132$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529$

Корни уравнения находятся по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$

$n_1 = \frac{-1 + 23}{2 \cdot 1} = \frac{22}{2} = 11$

$n_2 = \frac{-1 - 23}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12$

Так как $n$ представляет собой количество натуральных чисел, оно не может быть отрицательным. Поэтому корень $n_2 = -12$ не является решением задачи. Единственный подходящий корень — $n_1 = 11$.

Ответ: чтобы в сумме получилось 66, надо сложить 11 натуральных чисел, начиная с 1.

Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел от 1 до n надо сложить, чтобы их сумма была больше 55?

В этом случае нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, при котором сумма $S_n$ будет строго больше 55. Составим неравенство:

$S_n > 55$

$\frac{n(n+1)}{2} > 55$

Умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$n(n+1) > 110$

$n^2 + n > 110$

Перенесем все члены в левую часть:

$n^2 + n - 110 > 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $n^2 + n - 110 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=1$, $c=-110$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441$

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$

$n_1 = \frac{-1 + 21}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

$n_2 = \frac{-1 - 21}{2 \cdot 1} = \frac{-22}{2} = -11$

Графиком функции $y = n^2 + n - 110$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны при $n < -11$ и при $n > 10$.

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, нас интересует только промежуток $n > 10$. Наименьшее натуральное (целое положительное) число, удовлетворяющее этому условию, — это 11.

Для проверки можно вычислить суммы для $n=10$ и $n=11$:

$S_{10} = \frac{10(10+1)}{2} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$. Это значение не больше 55.

$S_{11} = \frac{11(11+1)}{2} = \frac{11 \cdot 12}{2} = 66$. Это значение больше 55.

Ответ: наименьшее число последовательных натуральных чисел, чтобы их сумма была больше 55, равно 11.

483 К Новому году в семье Ивановых каждый приготовил подарок каждому из остальных членов семьи. Всего под ёлкой оказалось 30 подарков. Сколько человек в семье Ивановых?

Пусть $n$ — это количество человек в семье Ивановых. По условию задачи, каждый член семьи приготовил подарок для каждого из остальных. Это значит, что один человек приготовил $(n - 1)$ подарков, так как он не дарит подарок самому себе.

Поскольку в семье $n$ человек, и каждый из них приготовил $(n - 1)$ подарков, то общее количество подарков можно найти, умножив количество человек на количество подарков от одного человека. Всего под ёлкой оказалось 30 подарков. Составим уравнение:

$n \times (n - 1) = 30$

Нам необходимо найти такое натуральное число $n$, чтобы произведение его на предыдущее ему число $(n - 1)$ было равно 30. Можно решить это уравнение подбором, проверяя произведения последовательных чисел:

$5 \times 4 = 20$ (не подходит)

$6 \times 5 = 30$ (подходит)

Таким образом, мы находим, что $n=6$.

Это же уравнение можно решить как квадратное:

$n^2 - n = 30$

$n^2 - n - 30 = 0$

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121$

$n_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 11}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$n_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 11}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Так как количество человек не может быть отрицательным, корень $n_2 = -5$ не имеет смысла в контексте задачи. Единственным подходящим решением является $n = 6$.

Проверка: Если в семье 6 человек, то каждый дарит $6 - 1 = 5$ подарков. Общее число подарков составляет $6 \times 5 = 30$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 6 человек.

484 На выпускном вечере каждый ученик класса подарил каждому из остальных свою фотографию. Когда все фотографии сложили на столе, их оказалось 272. Сколько учащихся в классе?

Пусть $n$ — это количество учащихся в классе.

Согласно условию задачи, каждый ученик подарил свою фотографию каждому из остальных учеников. Это означает, что каждый из $n$ учащихся подарил фотографию $(n - 1)$ ученикам (всем, кроме себя).

Чтобы найти общее количество подаренных фотографий, нужно умножить количество учеников на количество фотографий, которые подарил каждый из них. Это приводит нас к следующему уравнению: $n \cdot (n - 1) = 272$

Мы получили квадратное уравнение. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть: $n^2 - n = 272$ $n^2 - n - 272 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -1$, $c = -272$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-272) = 1 + 1088 = 1089$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$

$n_1 = \frac{1 + 33}{2} = \frac{34}{2} = 17$

$n_2 = \frac{1 - 33}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку количество учащихся не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -16$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, единственное верное решение — $n = 17$.

Проверим результат: если в классе 17 учеников, каждый из них подарит $17 - 1 = 16$ фотографий. Общее число фотографий: $17 \cdot 16 = 272$, что соответствует условию.

Ответ: 17 учащихся.