Страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

457 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Уравнение вида

$ax^4 + bx^2 + c = 0,$

где $a \neq 0$, называется биквадратным уравнением.

Решим уравнение $x^4 + 3x^2 - 28 = 0.$

Решение. Введём замену $x^2 = y$, получим квадратное уравнение относительно $y: y^2 + 3y - 28 = 0$. Решив его, найдём корни: $y_1 = 4, y_2 = -7$. Теперь решим уравнения $x^2 = 4$ и $x^2 = -7$:

1) $x^2 = 4; x_1 = 2, x_2 = -2;$

2) $x^2 = -7$; уравнение корней не имеет.

Ответ. 2; -2.

Решите биквадратное уравнение:

а) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0;$

в) $x^4 + 15x^2 - 16 = 0;$

б) $y^4 - 5y^2 + 4 = 0;$

г) $z^4 + 5z^2 + 4 = 0.$

а) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как $x^4 = (x^2)^2 = t^2$, уравнение примет вид:

$t^2 - 13t + 36 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно переменной $t$. Можно использовать теорему Виета. Ищем два числа, произведение которых равно 36, а сумма равна 13. Это числа 4 и 9.

$t_1 = 4$, $t_2 = 9$

Оба корня положительные, поэтому возвращаемся к исходной переменной $x$ для каждого из них.

1) $x^2 = t_1 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2$.

2) $x^2 = t_2 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_3 = 3, x_4 = -3$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-3, -2, 2, 3$.

б) $y^4 - 5y^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной. Пусть $t = y^2$. Тогда $y^4 = t^2$, и уравнение можно переписать в виде:

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Корни легко находятся:

$t_1 = 1$, $t_2 = 4$

Оба корня положительные. Выполним обратную замену.

1) $y^2 = t_1 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y_1 = 1, y_2 = -1$.

2) $y^2 = t_2 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y_3 = 2, y_4 = -2$.

Уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-2, -1, 1, 2$.

в) $x^4 + 15x^2 - 16 = 0$

Сделаем замену $t = x^2$. Уравнение примет вид:

$t^2 + 15t - 16 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -16, а сумма равна -15. Этим условиям удовлетворяют числа 1 и -16.

$t_1 = 1$, $t_2 = -16$

Теперь вернемся к переменной $x$.

1) $x^2 = t_1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$.

2) $x^2 = t_2 \Rightarrow x^2 = -16$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $-1, 1$.

г) $z^4 + 5z^2 + 4 = 0$

Введем замену $t = z^2$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 + 5t + 4 = 0$

Найдем его корни. По теореме Виета, произведение корней равно 4, а сумма равна -5. Отсюда находим корни:

$t_1 = -1$, $t_2 = -4$

Выполним обратную замену.

1) $z^2 = t_1 \Rightarrow z^2 = -1$. Уравнение не имеет действительных корней.

2) $z^2 = t_2 \Rightarrow z^2 = -4$. Уравнение не имеет действительных корней.

Так как оба значения $t$ отрицательны, исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

458 Сколько корней может иметь биквадратное уравнение? Объясните свой ответ.

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$.

Для решения такого уравнения вводится замена переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

После замены мы получаем квадратное уравнение относительно переменной $t$: $at^2 + bt + c = 0$.

Количество корней исходного биквадратного уравнения зависит от количества и знаков корней этого вспомогательного квадратного уравнения. Давайте рассмотрим все возможные случаи.

Четыре корня

Биквадратное уравнение имеет четыре различных корня, если вспомогательное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ имеет два различных положительных корня ($t_1 > 0$ и $t_2 > 0$).
В этом случае из уравнения $x^2 = t_1$ мы получаем два корня $x_{1,2} = \pm\sqrt{t_1}$, а из уравнения $x^2 = t_2$ — еще два корня $x_{3,4} = \pm\sqrt{t_2}$.
Пример: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.
Замена $t = x^2$ приводит к уравнению $t^2 - 13t + 36 = 0$.
Корни этого уравнения $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$. Оба корня положительны.
Возвращаемся к замене:
1) $x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2$.
2) $x^2 = 9 \implies x_3 = 3, x_4 = -3$.
Уравнение имеет четыре корня: $\pm2, \pm3$.

Три корня

Биквадратное уравнение имеет три корня, если вспомогательное квадратное уравнение имеет два корня, один из которых положительный, а другой равен нулю ($t_1 > 0, t_2 = 0$).
Тогда $x^2 = t_1$ дает два корня $x_{1,2} = \pm\sqrt{t_1}$, а $x^2 = 0$ дает один корень $x_3 = 0$.
Пример: $x^4 - 4x^2 = 0$.
Замена $t = x^2$ приводит к $t^2 - 4t = 0$ или $t(t-4)=0$.
Корни $t_1 = 4$ и $t_2 = 0$.
Возвращаемся к замене:
1) $x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2$.
2) $x^2 = 0 \implies x_3 = 0$.
Уравнение имеет три корня: $-2, 0, 2$.

Два корня

Этот случай возможен в двух вариантах:
1. Вспомогательное квадратное уравнение имеет один положительный корень ($t > 0$). Это происходит, например, когда дискриминант $D=0$, и единственный корень $t = -b/(2a)$ положителен.
2. Вспомогательное квадратное уравнение имеет два корня разных знаков ($t_1 > 0, t_2 < 0$).
Пример для варианта 1: $x^4 - 8x^2 + 16 = 0$.
Замена $t=x^2$ дает $(t-4)^2 = 0$, откуда $t=4$.
Тогда $x^2 = 4$, что дает два корня $x = \pm2$.
Пример для варианта 2: $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$.
Замена $t=x^2$ дает $t^2 - 2t - 8 = 0$. Корни $t_1=4$ и $t_2=-2$.
Так как $t \ge 0$, подходит только $t_1=4$.
Тогда $x^2 = 4$, что дает два корня $x = \pm2$.

Один корень

Биквадратное уравнение имеет один корень, если вспомогательное квадратное уравнение имеет единственный корень $t = 0$ или два корня, один из которых равен нулю, а другой отрицательный ($t_1 = 0, t_2 < 0$).
В обоих случаях единственным неотрицательным решением для $t$ будет $t=0$.
Тогда $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.
Пример: $2x^4 + 5x^2 = 0$.
Замена $t=x^2$ приводит к $2t^2 + 5t = 0$ или $t(2t+5)=0$.
Корни $t_1 = 0$ и $t_2 = -2.5$.
Подходит только $t_1=0$.
Тогда $x^2 = 0$, что дает единственный корень $x = 0$.
Другой простой пример: $x^4 = 0$, где корень также один: $x=0$.

Ноль корней (нет корней)

Биквадратное уравнение не имеет действительных корней, если вспомогательное квадратное уравнение:
1. Не имеет действительных корней (дискриминант $D < 0$).
2. Имеет только отрицательные корни.
В этих случаях нет неотрицательных значений $t$, а значит, уравнение $x^2 = t$ не имеет решений.
Пример для варианта 1: $x^4 + x^2 + 1 = 0$.
Замена $t=x^2$ дает $t^2 + t + 1 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Действительных корней для $t$ нет, значит, нет и для $x$.
Пример для варианта 2: $x^4 + 5x^2 + 4 = 0$.
Замена $t=x^2$ дает $t^2 + 5t + 4 = 0$. Корни $t_1 = -1$ и $t_2 = -4$.
Оба корня отрицательны, поэтому действительных корней для $x$ нет.

Ответ: Биквадратное уравнение может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 корня.

ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ (459-461)

459 Решите уравнение:

a) $x + \sqrt{x} - 6 = 0;$

б) $x - \sqrt{x} + 3 = 0;$

в) $x - 4\sqrt{x} + 3 = 0;$

г) $x - 9\sqrt{x} + 20 = 0.$

Указание. а) Введите замену $\sqrt{x} = y.$

а) $x + \sqrt{x} - 6 = 0$
Данное уравнение является иррациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x \ge 0$.
Для решения введем замену переменной, как указано в подсказке. Пусть $y = \sqrt{x}$. Так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, то $y \ge 0$.
Из замены следует, что $x = (\sqrt{x})^2 = y^2$. Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$y^2 + y - 6 = 0$.
Получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Решим его, например, по теореме Виета. Нам нужны два числа, произведение которых равно $-6$, а сумма равна $-1$. Этими числами являются $2$ и $-3$.
Таким образом, корни квадратного уравнения: $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.
Теперь необходимо проверить эти корни на соответствие условию $y \ge 0$.
$y_1 = 2$ удовлетворяет условию $y \ge 0$.
$y_2 = -3$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому это посторонний корень.
Выполним обратную замену для подходящего корня $y = 2$:
$\sqrt{x} = 2$.
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$x = 2^2 = 4$.
Полученное значение $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 0$).
Проверка: подставим $x=4$ в исходное уравнение: $4 + \sqrt{4} - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$. Равенство верное.
Ответ: $4$.

б) $x - \sqrt{x} + 3 = 0$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Введем замену переменной: $y = \sqrt{x}$, где $y \ge 0$. Тогда $x = y^2$.
Подставим в уравнение:
$y^2 - y + 3 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней для $y$.
Следовательно, исходное уравнение также не имеет решений.
Ответ: нет решений.

в) $x - 4\sqrt{x} + 3 = 0$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Введем замену переменной: $y = \sqrt{x}$, где $y \ge 0$. Тогда $x = y^2$.
Подставим в уравнение:
$y^2 - 4y + 3 = 0$.
Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $4$, а их произведение равно $3$. Корнями являются числа $1$ и $3$.
$y_1 = 1$, $y_2 = 3$.
Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.
Выполним обратную замену для каждого из корней:
1) Если $y = 1$, то $\sqrt{x} = 1$, откуда $x = 1^2 = 1$.
2) Если $y = 3$, то $\sqrt{x} = 3$, откуда $x = 3^2 = 9$.
Оба значения $x=1$ и $x=9$ удовлетворяют ОДЗ.
Проверка:
При $x=1$: $1 - 4\sqrt{1} + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$. Верно.
При $x=9$: $9 - 4\sqrt{9} + 3 = 9 - 4 \cdot 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$. Верно.
Ответ: $1; 9$.

г) $x - 9\sqrt{x} + 20 = 0$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Введем замену переменной: $y = \sqrt{x}$, где $y \ge 0$. Тогда $x = y^2$.
Подставим в уравнение:
$y^2 - 9y + 20 = 0$.
Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $9$, а их произведение равно $20$. Корнями являются числа $4$ и $5$.
$y_1 = 4$, $y_2 = 5$.
Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.
Выполним обратную замену для каждого из корней:
1) Если $y = 4$, то $\sqrt{x} = 4$, откуда $x = 4^2 = 16$.
2) Если $y = 5$, то $\sqrt{x} = 5$, откуда $x = 5^2 = 25$.
Оба значения $x=16$ и $x=25$ удовлетворяют ОДЗ.
Проверка:
При $x=16$: $16 - 9\sqrt{16} + 20 = 16 - 9 \cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0$. Верно.
При $x=25$: $25 - 9\sqrt{25} + 20 = 25 - 9 \cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0$. Верно.
Ответ: $16; 25$.

460 Решите уравнение (введите подходящую замену):

а) $(x^2 - x - 1)^2 - 10(x^2 - x - 1) + 9 = 0;$

б) $(x^2 - 4x + 3)^2 + 6(x^2 - 4x + 6) - 34 = 0.$

а) $(x^2 - x - 1)^2 - 10(x^2 - x - 1) + 9 = 0$

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $x^2 - x - 1$. Для его решения введем замену.

Пусть $t = x^2 - x - 1$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$t^2 - 10t + 9 = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2} = \frac{10 - 8}{2} = 1$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2} = \frac{10 + 8}{2} = 9$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. При $t = 1$:

$x^2 - x - 1 = 1$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D_1 = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Корни:

$x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

$x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

2. При $t = 9$:

$x^2 - x - 1 = 9$

$x^2 - x - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D_2 = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 1 + 40 = 41$

Корни:

$x_3 = \frac{1 - \sqrt{41}}{2}$

$x_4 = \frac{1 + \sqrt{41}}{2}$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-1; 2; \frac{1 - \sqrt{41}}{2}; \frac{1 + \sqrt{41}}{2}$.

б) $(x^2 - 4x + 3)^2 + 6(x^2 - 4x + 6) - 34 = 0$

Заметим, что выражения в скобках похожи. Выражение $x^2 - 4x + 6$ можно представить через $x^2 - 4x + 3$:

$x^2 - 4x + 6 = (x^2 - 4x + 3) + 3$

Введем замену: пусть $t = x^2 - 4x + 3$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$t^2 + 6(t + 3) - 34 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$t^2 + 6t + 18 - 34 = 0$

$t^2 + 6t - 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 - 10}{2} = -8$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 + 10}{2} = 2$

Теперь выполним обратную замену.

1. При $t = -8$:

$x^2 - 4x + 3 = -8$

$x^2 - 4x + 11 = 0$

Проверим, есть ли у этого уравнения действительные корни. Найдем дискриминант:

$D_1 = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 16 - 44 = -28$

Так как $D_1 < 0$, действительных корней в этом случае нет.

2. При $t = 2$:

$x^2 - 4x + 3 = 2$

$x^2 - 4x + 1 = 0$

Найдем дискриминант:

$D_2 = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$

Корни:

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

Следовательно, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3}$.

461 Найдите корни уравнения и покажите их примерное расположение на координатной прямой:

а) $(x^2 - 2x + 1)^2 - 11(x^2 - 2x + 1) + 30 = 0;$

б) $(x^2 + 4x)^2 - 4(x^2 + 4x) - 5 = 0.$

а) $(x^2 - 2x + 1)^2 - 11(x^2 - 2x + 1) + 30 = 0$

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x^2 - 2x + 1)$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 - 2x + 1$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 - 11y + 30 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни, используя теорему Виета. Сумма корней равна 11, а их произведение равно 30. Легко подобрать корни: $y_1 = 5$ и $y_2 = 6$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. Если $y = 5$, то:

$x^2 - 2x + 1 = 5$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(x - 1)^2 = 5$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x - 1 = \sqrt{5}$ или $x - 1 = -\sqrt{5}$

Отсюда находим два корня:

$x_1 = 1 + \sqrt{5}$

$x_2 = 1 - \sqrt{5}$

2. Если $y = 6$, то:

$x^2 - 2x + 1 = 6$

$(x - 1)^2 = 6$

$x - 1 = \sqrt{6}$ или $x - 1 = -\sqrt{6}$

Отсюда находим еще два корня:

$x_3 = 1 + \sqrt{6}$

$x_4 = 1 - \sqrt{6}$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня: $1 + \sqrt{5}$, $1 - \sqrt{5}$, $1 + \sqrt{6}$, $1 - \sqrt{6}$.

Для расположения на координатной прямой найдем их примерные значения, зная, что $\sqrt{5} \approx 2.24$ и $\sqrt{6} \approx 2.45$.

$x_1 = 1 + \sqrt{5} \approx 1 + 2.24 = 3.24$

$x_2 = 1 - \sqrt{5} \approx 1 - 2.24 = -1.24$

$x_3 = 1 + \sqrt{6} \approx 1 + 2.45 = 3.45$

$x_4 = 1 - \sqrt{6} \approx 1 - 2.45 = -1.45$

Расположим корни на координатной прямой в порядке возрастания: $1 - \sqrt{6}$, $1 - \sqrt{5}$, $1 + \sqrt{5}$, $1 + \sqrt{6}$.

Ответ: $1 \pm \sqrt{5}$; $1 \pm \sqrt{6}$.

б) $(x^2 + 4x)^2 - 4(x^2 + 4x) - 5 = 0$

Это уравнение также решается методом замены переменной. Пусть $z = x^2 + 4x$. Подставим $z$ в уравнение:

$z^2 - 4z - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $z$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно -5. Корни: $z_1 = 5$ и $z_2 = -1$.

Выполним обратную замену.

1. Если $z = 5$, то:

$x^2 + 4x = 5$

$x^2 + 4x - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение -5. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

2. Если $z = -1$, то:

$x^2 + 4x = -1$

$x^2 + 4x + 1 = 0$

Это уравнение решим с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$

Корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$

Таким образом, получаем еще два корня:

$x_3 = -2 + \sqrt{3}$

$x_4 = -2 - \sqrt{3}$

Всего у уравнения четыре корня: $1$, $-5$, $-2 + \sqrt{3}$, $-2 - \sqrt{3}$.

Найдем их примерные значения для расположения на координатной прямой, зная, что $\sqrt{3} \approx 1.73$.

$x_1 = 1$

$x_2 = -5$

$x_3 = -2 + \sqrt{3} \approx -2 + 1.73 = -0.27$

$x_4 = -2 - \sqrt{3} \approx -2 - 1.73 = -3.73$

Расположим корни на координатной прямой в порядке возрастания: $-5$, $-2 - \sqrt{3}$, $-2 + \sqrt{3}$, $1$.

Ответ: $-5$; $1$; $-2 \pm \sqrt{3}$.

462 ВЫВОДИМ НОВУЮ ФОРМУЛУ

Корни приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ можно найти по формуле

$x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$. Выведите эту формулу.

Выводим новую формулу

Для того чтобы вывести формулу корней приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, воспользуемся методом выделения полного квадрата. Этот метод позволяет преобразовать левую часть уравнения в квадрат двучлена.

1. Запишем исходное уравнение:

$x^2 + px + q = 0$

2. Перенесём свободный член $q$ в правую часть уравнения:

$x^2 + px = -q$

3. Чтобы выражение в левой части стало полным квадратом, необходимо добавить к нему слагаемое, равное квадрату половины коэффициента при $x$. Коэффициент при $x$ равен $p$, его половина — $\frac{p}{2}$, а квадрат половины — $(\frac{p}{2})^2$. Чтобы не нарушить равенство, добавим это слагаемое к обеим частям уравнения:

$x^2 + px + (\frac{p}{2})^2 = (\frac{p}{2})^2 - q$

4. Теперь левая часть уравнения представляет собой полный квадрат суммы $(x + \frac{p}{2})^2$. Свернём её:

$(x + \frac{p}{2})^2 = (\frac{p}{2})^2 - q$

5. Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что при извлечении корня из правой части нужно учесть два возможных знака, что обозначается символом $\pm$:

$x + \frac{p}{2} = \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

6. На последнем шаге выразим $x$, перенеся $\frac{p}{2}$ в правую часть уравнения:

$x = -\frac{p}{2} \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

Таким образом, требуемая формула успешно выведена.

Ответ: Формула для корней приведённого квадратного уравнения $x = -\frac{p}{2} \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$ выводится из уравнения $x^2 + px + q = 0$ методом выделения полного квадрата. Этот процесс включает перенос свободного члена $q$ вправо, добавление к обеим частям $(\frac{p}{2})^2$ для получения полного квадрата $(x + \frac{p}{2})^2$ в левой части, и последующее извлечение квадратного корня для нахождения $x$.

463 Решите уравнение, используя формулу, выведенную в предыдущем задании:

а) $x^2 - 16x + 15 = 0$;

б) $x^2 + 8x - 9 = 0$;

в) $x^2 + 5x - 3 = 0$;

г) $x^2 - 9x + 20 = 0$.

В условии задачи предлагается решить квадратные уравнения, используя формулу, выведенную в предыдущем задании. Все представленные уравнения являются приведенными квадратными уравнениями вида $x^2 + px + q = 0$. Для таких уравнений существует специальная формула для нахождения корней, которая, по-видимому, и имеется в виду:

$x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

Эта формула является следствием стандартной формулы корней квадратного уравнения и особенно удобна, когда коэффициент $p$ (при $x$) — четное число.

а) $x^2 - 16x + 15 = 0$

В этом уравнении коэффициенты $p = -16$ и $q = 15$.

Подставим эти значения в формулу:

$x = -(\frac{-16}{2}) \pm \sqrt{(\frac{-16}{2})^2 - 15}$

$x = 8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 15}$

$x = 8 \pm \sqrt{64 - 15}$

$x = 8 \pm \sqrt{49}$

$x = 8 \pm 7$

Отсюда находим два корня:

$x_1 = 8 + 7 = 15$

$x_2 = 8 - 7 = 1$

Ответ: $1; 15$.

б) $x^2 + 8x - 9 = 0$

Здесь коэффициенты $p = 8$ и $q = -9$.

Подставляем значения в формулу:

$x = -(\frac{8}{2}) \pm \sqrt{(\frac{8}{2})^2 - (-9)}$

$x = -4 \pm \sqrt{4^2 + 9}$

$x = -4 \pm \sqrt{16 + 9}$

$x = -4 \pm \sqrt{25}$

$x = -4 \pm 5$

Находим два корня:

$x_1 = -4 + 5 = 1$

$x_2 = -4 - 5 = -9$

Ответ: $-9; 1$.

в) $x^2 + 5x - 3 = 0$

Здесь коэффициенты $p = 5$ и $q = -3$.

Подставляем значения в формулу:

$x = -(\frac{5}{2}) \pm \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - (-3)}$

$x = -\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} + 3}$

$x = -\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{12}{4}}$

$x = -\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{37}{4}}$

$x = -\frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{37}}{2}$

Корни можно записать в виде одной дроби:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{37}}{2}$

Ответ: $\frac{-5 \pm \sqrt{37}}{2}$.

г) $x^2 - 9x + 20 = 0$

Здесь коэффициенты $p = -9$ и $q = 20$.

Подставляем значения в формулу:

$x = -(\frac{-9}{2}) \pm \sqrt{(\frac{-9}{2})^2 - 20}$

$x = \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4} - 20}$

$x = \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4} - \frac{80}{4}}$

$x = \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

$x = \frac{9}{2} \pm \frac{1}{2}$

Находим два корня:

$x_1 = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Ответ: $4; 5$.