Страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

444 Найдите корни уравнения и укажите их приближённые значения с двумя знаками после запятой (воспользуйтесь калькулятором):

а) $x^2 - 6x = 1;$
б) $3x^2 = 7x + 3;$
в) $x^2 + 11x = x - 2;$
г) $5x - 2 = 3x^2;$
д) $2x^2 + 4x + 1 = 0;$
е) $4 - 4x = x^2.$

а) $x^2 - 6x = 1$

Сначала приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть:

$x^2 - 6x - 1 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -6$, $c = -1$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 10}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 3 \pm \sqrt{10}$

Теперь найдем приближенные значения корней и округлим их до двух знаков после запятой:

$x_1 = 3 + \sqrt{10} \approx 3 + 3.1622... \approx 6.16$

$x_2 = 3 - \sqrt{10} \approx 3 - 3.1622... \approx -0.16$

Ответ: $x_1 \approx 6.16$, $x_2 \approx -0.16$.

б) $3x^2 = 7x + 3$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 - 7x - 3 = 0$

Коэффициенты: $a = 3$, $b = -7$, $c = -3$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 49 + 36 = 85$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{85}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm \sqrt{85}}{6}$.

Найдем приближенные значения корней:

$x_1 = \frac{7 + \sqrt{85}}{6} \approx \frac{7 + 9.2195...}{6} \approx \frac{16.2195...}{6} \approx 2.70$

$x_2 = \frac{7 - \sqrt{85}}{6} \approx \frac{7 - 9.2195...}{6} \approx \frac{-2.2195...}{6} \approx -0.37$

Ответ: $x_1 \approx 2.70$, $x_2 \approx -0.37$.

в) $x^2 + 11x = x - 2$

Приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:

$x^2 + 11x - x + 2 = 0$

$x^2 + 10x + 2 = 0$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 10$, $c = 2$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 100 - 8 = 92$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{92}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm \sqrt{4 \cdot 23}}{2} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{23}}{2} = -5 \pm \sqrt{23}$.

Найдем приближенные значения корней:

$x_1 = -5 + \sqrt{23} \approx -5 + 4.7958... \approx -0.2041... \approx -0.20$

$x_2 = -5 - \sqrt{23} \approx -5 - 4.7958... \approx -9.7958... \approx -9.80$

Ответ: $x_1 \approx -0.20$, $x_2 \approx -9.80$.

г) $5x - 2 = 3x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$3x^2 - 5x + 2 = 0$

Коэффициенты: $a = 3$, $b = -5$, $c = 2$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$.

$x_1 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Найдем приближенные значения корней:

$x_1 = 1.00$

$x_2 = \frac{2}{3} \approx 0.6666... \approx 0.67$

Ответ: $x_1 = 1.00$, $x_2 \approx 0.67$.

д) $2x^2 + 4x + 1 = 0$

Уравнение уже представлено в стандартном виде. Коэффициенты: $a = 2$, $b = 4$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2}$.

Найдем приближенные значения корней:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{2}}{2} \approx \frac{-2 + 1.4142...}{2} \approx \frac{-0.5857...}{2} \approx -0.29$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{2}}{2} \approx \frac{-2 - 1.4142...}{2} \approx \frac{-3.4142...}{2} \approx -1.71$

Ответ: $x_1 \approx -0.29$, $x_2 \approx -1.71$.

е) $4 - 4x = x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 4x - 4 = 0$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 4$, $c = -4$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 \cdot 2}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}$.

Найдем приближенные значения корней:

$x_1 = -2 + 2\sqrt{2} \approx -2 + 2 \cdot 1.4142... = -2 + 2.8284... \approx 0.83$

$x_2 = -2 - 2\sqrt{2} \approx -2 - 2 \cdot 1.4142... = -2 - 2.8284... \approx -4.83$

Ответ: $x_1 \approx 0.83$, $x_2 \approx -4.83$.

445 Решите уравнение:

a) $2z^3 - z^2 - 10z = 0;$

б) $10x^4 + 3x^3 - 18x^2 = 0;$

в) $3y^4 - 6y^3 + 3y^2 = 0;$

г) $4u^3 - 12u^2 + 9u = 0.$

Подсказка. Левую часть уравнения разложите на множители.

а) $2z^3 - z^2 - 10z = 0$

Следуя подсказке, разложим левую часть уравнения на множители. Вынесем общий множитель $z$ за скобки:

$z(2z^2 - z - 10) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два уравнения:

1) $z = 0$

2) $2z^2 - z - 10 = 0$

Решим второе уравнение, которое является квадратным. Найдем его корни с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a = 2$, $b = -1$, $c = -10$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Формула корней квадратного уравнения: $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$z_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$

$z_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня: $0$, $2.5$ и $-2$.

Ответ: $-2; 0; 2.5$

б) $10x^4 + 3x^3 - 18x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(10x^2 + 3x - 18) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

2) $10x^2 + 3x - 18 = 0$

Решим второе квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Здесь $a = 10$, $b = 3$, $c = -18$.

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-18) = 9 + 720 = 729$

$\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 27}{2 \cdot 10} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5} = 1.2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 27}{2 \cdot 10} = \frac{-30}{20} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Корни исходного уравнения: $0$, $1.2$ и $-1.5$.

Ответ: $-1.5; 0; 1.2$

в) $3y^4 - 6y^3 + 3y^2 = 0$

Вынесем общий множитель $3y^2$ за скобки:

$3y^2(y^2 - 2y + 1) = 0$

Рассмотрим выражение в скобках. Это формула квадрата разности: $y^2 - 2y + 1 = (y-1)^2$.

Тогда уравнение принимает вид:

$3y^2(y-1)^2 = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $3y^2 = 0 \implies y^2 = 0 \implies y = 0$.

2) $(y-1)^2 = 0 \implies y - 1 = 0 \implies y = 1$.

Уравнение имеет два корня: $0$ и $1$.

Ответ: $0; 1$

г) $4u^3 - 12u^2 + 9u = 0$

Вынесем общий множитель $u$ за скобки:

$u(4u^2 - 12u + 9) = 0$

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $4u^2 - 12u + 9 = (2u)^2 - 2 \cdot (2u) \cdot 3 + 3^2 = (2u - 3)^2$.

Уравнение можно переписать в виде:

$u(2u - 3)^2 = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $u = 0$.

2) $(2u - 3)^2 = 0 \implies 2u - 3 = 0 \implies 2u = 3 \implies u = \frac{3}{2} = 1.5$.

Уравнение имеет два корня: $0$ и $1.5$.

Ответ: $0; 1.5$

446 Найдите корни уравнения:

а) $x^2(x - 3) - 10x(x - 3) - 24(x - 3) = 0;$

б) $3z^2(z - 1) + 10z(z - 1) + 8(1 - z) = 0;$

в) $y^2(y + 2) + 2y(y + 2) - 15(y + 2) = 0;$

г) $2u^2(u + 5) - 3u(u + 5) - 9(u + 5) = 0.$

а) Данное уравнение $x^2(x - 3) - 10x(x - 3) - 24(x - 3) = 0$ можно решить методом вынесения общего множителя за скобки. Общий множитель здесь — это выражение $(x - 3)$.
Выносим $(x - 3)$ за скобки:
$(x - 3)(x^2 - 10x - 24) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю. Поэтому мы получаем два уравнения:
1) $x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$.
2) $x^2 - 10x - 24 = 0$. Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$.
$\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
$x_3 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
Уравнение имеет три корня: -2, 3 и 12.
Ответ: $-2; 3; 12$.

б) В уравнении $3z^2(z - 1) + 10z(z - 1) + 8(1 - z) = 0$ заметим, что $1 - z = -(z - 1)$. Преобразуем уравнение, заменив $8(1 - z)$ на $-8(z - 1)$:
$3z^2(z - 1) + 10z(z - 1) - 8(z - 1) = 0$.
Теперь мы можем вынести общий множитель $(z - 1)$ за скобки:
$(z - 1)(3z^2 + 10z - 8) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $z - 1 = 0 \implies z_1 = 1$.
2) $3z^2 + 10z - 8 = 0$. Решим это квадратное уравнение.
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196$.
$\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.
$z_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
$z_3 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$.
Уравнение имеет три корня: -4, 2/3 и 1.
Ответ: $-4; \frac{2}{3}; 1$.

в) В уравнении $y^2(y + 2) + 2y(y + 2) - 15(y + 2) = 0$ общим множителем является $(y + 2)$.
Вынесем его за скобки:
$(y + 2)(y^2 + 2y - 15) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $y + 2 = 0 \implies y_1 = -2$.
2) $y^2 + 2y - 15 = 0$. Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна -2, а их произведение равно -15. Легко подобрать корни: $y_2 = -5$ и $y_3 = 3$.
Проверим через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
$\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.
$y_2 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$y_3 = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Уравнение имеет три корня: -5, -2 и 3.
Ответ: $-5; -2; 3$.

г) В уравнении $2u^2(u + 5) - 3u(u + 5) - 9(u + 5) = 0$ вынесем общий множитель $(u + 5)$ за скобки:
$(u + 5)(2u^2 - 3u - 9) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $u + 5 = 0 \implies u_1 = -5$.
2) $2u^2 - 3u - 9 = 0$. Решим это квадратное уравнение.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81$.
$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
$u_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.
$u_3 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1,5$.
Уравнение имеет три корня: -5, -1,5 и 3.
Ответ: $-5; -1,5; 3$.

447 Определите, сколько корней имеет уравнение:

а) $(4x^2 + x + 1)(x^2 - 9x + 4) = 0;$

б) $(x^2 - 4x + 5)(2x^2 - 3x + 2) = 0;$

в) $(3x^2 - 5x + 2)(2x^2 + 3x - 1) = 0;$

г) $(36x^2 - 12x + 1)(5x^2 - 2x - 3) = 0;$

д) $(x^2 - 5x + 6)(x^2 - 2x - 3) = 0.$

а) Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Поэтому данное уравнение $(4x^2 + x + 1)(x^2 - 9x + 4) = 0$ равносильно совокупности двух квадратных уравнений:
1) $4x^2 + x + 1 = 0$
2) $x^2 - 9x + 4 = 0$
Чтобы определить количество действительных корней каждого уравнения, найдем их дискриминанты.
Для первого уравнения $4x^2 + x + 1 = 0$:
Дискриминант $D_1 = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$.
Так как $D_1 < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
Для второго уравнения $x^2 - 9x + 4 = 0$:
Дискриминант $D_2 = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 81 - 16 = 65$.
Так как $D_2 > 0$, это уравнение имеет два различных действительных корня.
Общее количество корней исходного уравнения равно сумме количества корней этих двух уравнений, то есть $0 + 2 = 2$.
Ответ: 2 корня.

б) Уравнение $(x^2 - 4x + 5)(2x^2 - 3x + 2) = 0$ равносильно совокупности уравнений:
1) $x^2 - 4x + 5 = 0$
2) $2x^2 - 3x + 2 = 0$
Найдем дискриминанты для каждого уравнения.
Для первого уравнения $x^2 - 4x + 5 = 0$:
$D_1 = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Так как $D_1 < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
Для второго уравнения $2x^2 - 3x + 2 = 0$:
$D_2 = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$.
Так как $D_2 < 0$, это уравнение также не имеет действительных корней.
Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных корней. Общее количество корней равно $0 + 0 = 0$.
Ответ: 0 корней.

в) Уравнение $(3x^2 - 5x + 2)(2x^2 + 3x - 1) = 0$ равносильно совокупности уравнений:
1) $3x^2 - 5x + 2 = 0$
2) $2x^2 + 3x - 1 = 0$
Найдем дискриминанты для каждого уравнения.
Для первого уравнения $3x^2 - 5x + 2 = 0$:
$D_1 = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
Так как $D_1 > 0$, это уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их: $x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$. Корни: $x_1 = \frac{6}{6} = 1$ и $x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Для второго уравнения $2x^2 + 3x - 1 = 0$:
$D_2 = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9 + 8 = 17$.
Так как $D_2 > 0$, это уравнение имеет два различных действительных корня: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$.
Корни первого уравнения ($1$ и $\frac{2}{3}$) — рациональные числа, а корни второго ($\frac{-3 + \sqrt{17}}{4}$ и $\frac{-3 - \sqrt{17}}{4}$) — иррациональные. Следовательно, совпадающих корней нет.
Общее количество различных корней равно $2 + 2 = 4$.
Ответ: 4 корня.

г) Уравнение $(36x^2 - 12x + 1)(5x^2 - 2x - 3) = 0$ равносильно совокупности уравнений:
1) $36x^2 - 12x + 1 = 0$
2) $5x^2 - 2x - 3 = 0$
Рассмотрим каждое уравнение.
Первое уравнение $36x^2 - 12x + 1 = 0$ является полным квадратом, так как его можно записать в виде $(6x - 1)^2 = 0$.
Оно имеет один корень (кратности 2): $6x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{6}$. (Проверка через дискриминант: $D_1 = (-12)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1 = 144 - 144 = 0$, что означает один корень).
Для второго уравнения $5x^2 - 2x - 3 = 0$:
$D_2 = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$.
Так как $D_2 > 0$, это уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их: $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 \pm 8}{10}$. Корни: $x_2 = \frac{10}{10} = 1$ и $x_3 = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$.
Все найденные корни ($\frac{1}{6}$, $1$, $-\frac{3}{5}$) различны.
Общее количество различных корней равно $1 + 2 = 3$.
Ответ: 3 корня.

д) Уравнение $(x^2 - 5x + 6)(x^2 - 2x - 3) = 0$ равносильно совокупности уравнений:
1) $x^2 - 5x + 6 = 0$
2) $x^2 - 2x - 3 = 0$
Рассмотрим каждое уравнение. Оба можно разложить на множители.
Для первого уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$:
$D_1 = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$. Уравнение имеет два корня. По теореме Виета находим корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Разложение: $(x-2)(x-3)=0$.
Для второго уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$:
$D_2 = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 > 0$. Уравнение имеет два корня. По теореме Виета находим корни $x_3 = 3$ и $x_4 = -1$. Разложение: $(x-3)(x+1)=0$.
Объединим множества корней обоих уравнений: $\{2, 3\}$ и $\{-1, 3\}$.
Корень $x = 3$ является общим для обоих уравнений (совпадающий корень).
Таким образом, множество различных корней исходного уравнения: $\{-1, 2, 3\}$.
Всего различных корней: 3.
Ответ: 3 корня.

448 ИССЛЕДУЕМ

1) Выясните, имеет ли корни уравнение $193x^2 + 93x + 10 = 0$. Используя полученный результат, установите, имеют ли корни следующие уравнения: $193x^2 - 93x + 10 = 0$, $10x^2 + 93x + 193 = 0$, $10x^2 - 93x + 193 = 0$.

2) Запишите какое-нибудь квадратное уравнение, которое имеет тот же дискриминант, что и уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ (коэффициенты отличны от 0).

1)Наличие действительных корней у квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ определяется знаком его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Если $D \ge 0$, то уравнение имеет действительные корни.
Для уравнения $193x^2 + 93x + 10 = 0$ коэффициенты равны: $a = 193$, $b = 93$, $c = 10$.
Вычислим его дискриминант $D_1$:
$D_1 = 93^2 - 4 \cdot 193 \cdot 10 = 8649 - 7720 = 929$.
Поскольку $D_1 = 929 > 0$, данное уравнение имеет два действительных корня.

Теперь, используя этот результат, рассмотрим остальные уравнения. Заметим, что все они составлены из тех же чисел, что и первое уравнение, но с измененными знаками или позициями коэффициентов. Вычислим их дискриминанты:
- Для $193x^2 - 93x + 10 = 0$: $D_2 = (-93)^2 - 4 \cdot 193 \cdot 10 = 93^2 - 7720 = 929$.
- Для $10x^2 + 93x + 193 = 0$: $D_3 = 93^2 - 4 \cdot 10 \cdot 193 = 8649 - 7720 = 929$.
- Для $10x^2 - 93x + 193 = 0$: $D_4 = (-93)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 193 = 93^2 - 7720 = 929$.

Все четыре уравнения имеют один и тот же дискриминант $D = 929$. Это связано с тем, что в формуле дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ коэффициент $b$ возводится в квадрат (поэтому его знак не влияет на результат), а коэффициенты $a$ и $c$ можно поменять местами, что не изменит их произведение $ac$.
Поскольку дискриминант для всех уравнений равен 929 (что больше нуля), все они имеют по два действительных корня.
Ответ: да, исходное уравнение имеет корни. Все три последующих уравнения также имеют корни, поскольку их дискриминант равен 929, что является положительным числом.

2)Дискриминант уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (где по условию коэффициенты $a, b, c$ отличны от 0) вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.
Нужно записать другое квадратное уравнение, которое будет иметь такой же дискриминант. Существует бесконечно много таких уравнений. Вот несколько способов их составить:
1. Изменить знак коэффициента $b$. Уравнение $ax^2 - bx + c = 0$ имеет дискриминант $D' = (-b)^2 - 4ac = b^2 - 4ac = D$.
2. Поменять местами коэффициенты $a$ и $c$. Уравнение $cx^2 + bx + a = 0$ имеет дискриминант $D'' = b^2 - 4ca = b^2 - 4ac = D$.
Любое из этих уравнений, а также их комбинация (например, $cx^2 - bx + a = 0$), будет иметь тот же дискриминант, что и исходное уравнение.
Ответ: например, уравнение $ax^2 - bx + c = 0$.