Номер 448, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 3. Квадратные уравнения. 3.2. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 448, страница 130.

Условие.

448 ИССЛЕДУЕМ

1) Выясните, имеет ли корни уравнение $193x^2 + 93x + 10 = 0$. Используя полученный результат, установите, имеют ли корни следующие уравнения: $193x^2 - 93x + 10 = 0$, $10x^2 + 93x + 193 = 0$, $10x^2 - 93x + 193 = 0$.

2) Запишите какое-нибудь квадратное уравнение, которое имеет тот же дискриминант, что и уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ (коэффициенты отличны от 0).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)Наличие действительных корней у квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ определяется знаком его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Если $D \ge 0$, то уравнение имеет действительные корни.
Для уравнения $193x^2 + 93x + 10 = 0$ коэффициенты равны: $a = 193$, $b = 93$, $c = 10$.
Вычислим его дискриминант $D_1$:
$D_1 = 93^2 - 4 \cdot 193 \cdot 10 = 8649 - 7720 = 929$.
Поскольку $D_1 = 929 > 0$, данное уравнение имеет два действительных корня.

Теперь, используя этот результат, рассмотрим остальные уравнения. Заметим, что все они составлены из тех же чисел, что и первое уравнение, но с измененными знаками или позициями коэффициентов. Вычислим их дискриминанты:
- Для $193x^2 - 93x + 10 = 0$: $D_2 = (-93)^2 - 4 \cdot 193 \cdot 10 = 93^2 - 7720 = 929$.
- Для $10x^2 + 93x + 193 = 0$: $D_3 = 93^2 - 4 \cdot 10 \cdot 193 = 8649 - 7720 = 929$.
- Для $10x^2 - 93x + 193 = 0$: $D_4 = (-93)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 193 = 93^2 - 7720 = 929$.

Все четыре уравнения имеют один и тот же дискриминант $D = 929$. Это связано с тем, что в формуле дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ коэффициент $b$ возводится в квадрат (поэтому его знак не влияет на результат), а коэффициенты $a$ и $c$ можно поменять местами, что не изменит их произведение $ac$.
Поскольку дискриминант для всех уравнений равен 929 (что больше нуля), все они имеют по два действительных корня.
Ответ: да, исходное уравнение имеет корни. Все три последующих уравнения также имеют корни, поскольку их дискриминант равен 929, что является положительным числом.

2)Дискриминант уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (где по условию коэффициенты $a, b, c$ отличны от 0) вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.
Нужно записать другое квадратное уравнение, которое будет иметь такой же дискриминант. Существует бесконечно много таких уравнений. Вот несколько способов их составить:
1. Изменить знак коэффициента $b$. Уравнение $ax^2 - bx + c = 0$ имеет дискриминант $D' = (-b)^2 - 4ac = b^2 - 4ac = D$.
2. Поменять местами коэффициенты $a$ и $c$. Уравнение $cx^2 + bx + a = 0$ имеет дискриминант $D'' = b^2 - 4ca = b^2 - 4ac = D$.
Любое из этих уравнений, а также их комбинация (например, $cx^2 - bx + a = 0$), будет иметь тот же дискриминант, что и исходное уравнение.
Ответ: например, уравнение $ax^2 - bx + c = 0$.