Номер 451, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 451, страница 132.

Условие.

451 a) $0,3x^2 + 1,6x - 1,2 = 0;$

б) $x^2 - \frac{2}{3}x = \frac{8}{3};$

В) $\frac{z^2+z}{2}=15;$

Г) $x^2+1=\frac{5x}{2};$

Д) $0,1y^2 - 0,9y + 0,8 = 0;$

е) $\frac{7}{20} - \frac{1}{5}x = x^2;$

Ж) $5x^2 = \frac{1-5x}{10};$

З) $\frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{2}x = 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $0,3x^2 + 1,6x - 1,2 = 0$
Для удобства вычислений умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$10 \cdot (0,3x^2 + 1,6x - 1,2) = 10 \cdot 0$
$3x^2 + 16x - 12 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=3$, $b=16$, $c=-12$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-16 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$x_2 = \frac{-16 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{-36}{6} = -6$
Ответ: $-6; \frac{2}{3}$.

б) $x^2 - \frac{2}{3}x = \frac{8}{3}$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{8}{3} = 0$
Умножим все уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей:
$3x^2 - 2x - 8 = 0$
Здесь $a=3$, $b=-2$, $c=-8$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$
$\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-2) + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2$
$x_2 = \frac{-(-2) - 10}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$
Ответ: $2; -\frac{4}{3}$.

в) $\frac{z^2 + z}{2} = 15$
Умножим обе части уравнения на 2:
$z^2 + z = 30$
Перенесем 30 в левую часть:
$z^2 + z - 30 = 0$
Здесь $a=1$, $b=1$, $c=-30$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121$
$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$
Найдем корни:
$z_1 = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$
$z_2 = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-12}{2} = -6$
Ответ: $5; -6$.

г) $x^2 + 1 = \frac{5x}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$2(x^2 + 1) = 5x$
$2x^2 + 2 = 5x$
Перенесем $5x$ в левую часть:
$2x^2 - 5x + 2 = 0$
Здесь $a=2$, $b=-5$, $c=2$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-5) + 3}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$x_2 = \frac{-(-5) - 3}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Ответ: $2; \frac{1}{2}$.

д) $0,1y^2 - 0,9y + 0,8 = 0$
Умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$y^2 - 9y + 8 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. Решим через дискриминант. Здесь $a=1$, $b=-9$, $c=8$.
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-(-9) + 7}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$y_2 = \frac{-(-9) - 7}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Ответ: $1; 8$.

е) $\frac{7}{20} - \frac{1}{5}x = x^2$
Перенесем все члены в правую часть и запишем уравнение в стандартном виде:
$x^2 + \frac{1}{5}x - \frac{7}{20} = 0$
Умножим все уравнение на 20 (наименьший общий знаменатель), чтобы избавиться от дробей:
$20x^2 + 4x - 7 = 0$
Здесь $a=20$, $b=4$, $c=-7$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$
$D = 4^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-7) = 16 + 560 = 576$
$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-4 + 24}{2 \cdot 20} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-4 - 24}{2 \cdot 20} = \frac{-28}{40} = -\frac{7}{10}$
Ответ: $\frac{1}{2}; -\frac{7}{10}$.

ж) $5x^2 = \frac{1-5x}{10}$
Умножим обе части уравнения на 10:
$50x^2 = 1 - 5x$
Перенесем все члены в левую часть:
$50x^2 + 5x - 1 = 0$
Здесь $a=50$, $b=5$, $c=-1$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$
$D = 5^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-1) = 25 + 200 = 225$
$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-5 + 15}{2 \cdot 50} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$
$x_2 = \frac{-5 - 15}{2 \cdot 50} = \frac{-20}{100} = -\frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{10}; -\frac{1}{5}$.

з) $\frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{2}x = 3$
Перенесем 3 в левую часть:
$\frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{2}x - 3 = 0$
Умножим все уравнение на 6 (наименьший общий знаменатель для 3 и 2), чтобы избавиться от дробей:
$6 \cdot (\frac{1}{3}x^2) + 6 \cdot (\frac{3}{2}x) - 6 \cdot 3 = 0$
$2x^2 + 9x - 18 = 0$
Здесь $a=2$, $b=9$, $c=-18$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$
$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225$
$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{-9 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6$
Ответ: $\frac{3}{2}; -6$.