Номер 447, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 447, страница 130.

Условие.

447 Определите, сколько корней имеет уравнение:

а) $(4x^2 + x + 1)(x^2 - 9x + 4) = 0;$

б) $(x^2 - 4x + 5)(2x^2 - 3x + 2) = 0;$

в) $(3x^2 - 5x + 2)(2x^2 + 3x - 1) = 0;$

г) $(36x^2 - 12x + 1)(5x^2 - 2x - 3) = 0;$

д) $(x^2 - 5x + 6)(x^2 - 2x - 3) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Поэтому данное уравнение $(4x^2 + x + 1)(x^2 - 9x + 4) = 0$ равносильно совокупности двух квадратных уравнений:
1) $4x^2 + x + 1 = 0$
2) $x^2 - 9x + 4 = 0$
Чтобы определить количество действительных корней каждого уравнения, найдем их дискриминанты.
Для первого уравнения $4x^2 + x + 1 = 0$:
Дискриминант $D_1 = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$.
Так как $D_1 < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
Для второго уравнения $x^2 - 9x + 4 = 0$:
Дискриминант $D_2 = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 81 - 16 = 65$.
Так как $D_2 > 0$, это уравнение имеет два различных действительных корня.
Общее количество корней исходного уравнения равно сумме количества корней этих двух уравнений, то есть $0 + 2 = 2$.
Ответ: 2 корня.

б) Уравнение $(x^2 - 4x + 5)(2x^2 - 3x + 2) = 0$ равносильно совокупности уравнений:
1) $x^2 - 4x + 5 = 0$
2) $2x^2 - 3x + 2 = 0$
Найдем дискриминанты для каждого уравнения.
Для первого уравнения $x^2 - 4x + 5 = 0$:
$D_1 = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Так как $D_1 < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
Для второго уравнения $2x^2 - 3x + 2 = 0$:
$D_2 = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$.
Так как $D_2 < 0$, это уравнение также не имеет действительных корней.
Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных корней. Общее количество корней равно $0 + 0 = 0$.
Ответ: 0 корней.

в) Уравнение $(3x^2 - 5x + 2)(2x^2 + 3x - 1) = 0$ равносильно совокупности уравнений:
1) $3x^2 - 5x + 2 = 0$
2) $2x^2 + 3x - 1 = 0$
Найдем дискриминанты для каждого уравнения.
Для первого уравнения $3x^2 - 5x + 2 = 0$:
$D_1 = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
Так как $D_1 > 0$, это уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их: $x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$. Корни: $x_1 = \frac{6}{6} = 1$ и $x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Для второго уравнения $2x^2 + 3x - 1 = 0$:
$D_2 = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9 + 8 = 17$.
Так как $D_2 > 0$, это уравнение имеет два различных действительных корня: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$.
Корни первого уравнения ($1$ и $\frac{2}{3}$) — рациональные числа, а корни второго ($\frac{-3 + \sqrt{17}}{4}$ и $\frac{-3 - \sqrt{17}}{4}$) — иррациональные. Следовательно, совпадающих корней нет.
Общее количество различных корней равно $2 + 2 = 4$.
Ответ: 4 корня.

г) Уравнение $(36x^2 - 12x + 1)(5x^2 - 2x - 3) = 0$ равносильно совокупности уравнений:
1) $36x^2 - 12x + 1 = 0$
2) $5x^2 - 2x - 3 = 0$
Рассмотрим каждое уравнение.
Первое уравнение $36x^2 - 12x + 1 = 0$ является полным квадратом, так как его можно записать в виде $(6x - 1)^2 = 0$.
Оно имеет один корень (кратности 2): $6x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{6}$. (Проверка через дискриминант: $D_1 = (-12)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1 = 144 - 144 = 0$, что означает один корень).
Для второго уравнения $5x^2 - 2x - 3 = 0$:
$D_2 = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$.
Так как $D_2 > 0$, это уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их: $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 \pm 8}{10}$. Корни: $x_2 = \frac{10}{10} = 1$ и $x_3 = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$.
Все найденные корни ($\frac{1}{6}$, $1$, $-\frac{3}{5}$) различны.
Общее количество различных корней равно $1 + 2 = 3$.
Ответ: 3 корня.

д) Уравнение $(x^2 - 5x + 6)(x^2 - 2x - 3) = 0$ равносильно совокупности уравнений:
1) $x^2 - 5x + 6 = 0$
2) $x^2 - 2x - 3 = 0$
Рассмотрим каждое уравнение. Оба можно разложить на множители.
Для первого уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$:
$D_1 = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$. Уравнение имеет два корня. По теореме Виета находим корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Разложение: $(x-2)(x-3)=0$.
Для второго уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$:
$D_2 = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 > 0$. Уравнение имеет два корня. По теореме Виета находим корни $x_3 = 3$ и $x_4 = -1$. Разложение: $(x-3)(x+1)=0$.
Объединим множества корней обоих уравнений: $\{2, 3\}$ и $\{-1, 3\}$.
Корень $x = 3$ является общим для обоих уравнений (совпадающий корень).
Таким образом, множество различных корней исходного уравнения: $\{-1, 2, 3\}$.
Всего различных корней: 3.
Ответ: 3 корня.