Номер 440, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 440, страница 129.

Условие.

Совет. Упростите уравнение, разделив обе его части на одно и то же число.

440 а) $3z^2 = 198 + 15z;$

б) $11v = 3 + 10v^2;$

в) $8z^2 = 22z + 6;$

г) $0.3y^2 + 1.4 = -1.3y;$

д) $0.1 + 0.03x^2 = 0.17x;$

е) $75 - 35z = 10z^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $3z^2 = 198 + 15z$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$:
$3z^2 - 15z - 198 = 0$.
Согласно совету, упростим уравнение, разделив все его члены на их наибольший общий делитель. Коэффициенты 3, -15 и -198 делятся на 3.
$\frac{3z^2}{3} - \frac{15z}{3} - \frac{198}{3} = \frac{0}{3}$
$z^2 - 5z - 66 = 0$.
Теперь решим это приведенное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
Здесь $a = 1$, $b = -5$, $c = -66$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-66) = 25 + 264 = 289$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.
Теперь найдем корни уравнения по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$z_1 = \frac{-(-5) + 17}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 17}{2} = \frac{22}{2} = 11$.
$z_2 = \frac{-(-5) - 17}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 17}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.
Ответ: $z_1 = 11, z_2 = -6$.

б)

Исходное уравнение: $11v = 3 + 10v^2$.
Приведем уравнение к стандартному виду $av^2 + bv + c = 0$:
$10v^2 - 11v + 3 = 0$.
Коэффициенты 10, -11, 3 не имеют общего делителя, кроме 1. Решаем уравнение с помощью дискриминанта.
Здесь $a = 10$, $b = -11$, $c = 3$.
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 3 = 121 - 120 = 1$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.
Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-(-11) + 1}{2 \cdot 10} = \frac{11 + 1}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0,6$.
$v_2 = \frac{-(-11) - 1}{2 \cdot 10} = \frac{11 - 1}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Ответ: $v_1 = 0,6; v_2 = 0,5$.

в)

Исходное уравнение: $8z^2 = 22z + 6$.
Приведем уравнение к стандартному виду:
$8z^2 - 22z - 6 = 0$.
Все коэффициенты (8, -22, -6) являются четными числами, поэтому разделим уравнение на 2 для упрощения:
$\frac{8z^2}{2} - \frac{22z}{2} - \frac{6}{2} = \frac{0}{2}$
$4z^2 - 11z - 3 = 0$.
Решаем с помощью дискриминанта. Здесь $a = 4$, $b = -11$, $c = -3$.
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$.
$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.
Найдем корни:
$z_1 = \frac{-(-11) + 13}{2 \cdot 4} = \frac{11 + 13}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
$z_2 = \frac{-(-11) - 13}{2 \cdot 4} = \frac{11 - 13}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} = -0,25$.
Ответ: $z_1 = 3, z_2 = -0,25$.

г)

Исходное уравнение: $0,3y^2 + 1,4 = -1,3y$.
Приведем уравнение к стандартному виду:
$0,3y^2 + 1,3y + 1,4 = 0$.
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10:
$10 \cdot (0,3y^2 + 1,3y + 1,4) = 10 \cdot 0$
$3y^2 + 13y + 14 = 0$.
Решаем с помощью дискриминанта. Здесь $a = 3$, $b = 13$, $c = 14$.
$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-13 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$.
$y_2 = \frac{-13 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$.
Ответ: $y_1 = -2, y_2 = -\frac{7}{3}$.

д)

Исходное уравнение: $0,1 + 0,03x^2 = 0,17x$.
Приведем уравнение к стандартному виду:
$0,03x^2 - 0,17x + 0,1 = 0$.
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 100:
$100 \cdot (0,03x^2 - 0,17x + 0,1) = 100 \cdot 0$
$3x^2 - 17x + 10 = 0$.
Решаем с помощью дискриминанта. Здесь $a = 3$, $b = -17$, $c = 10$.
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169$.
$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-17) + 13}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 13}{6} = \frac{30}{6} = 5$.
$x_2 = \frac{-(-17) - 13}{2 \cdot 3} = \frac{17 - 13}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $x_1 = 5, x_2 = \frac{2}{3}$.

е)

Исходное уравнение: $75 - 35z = 10z^2$.
Приведем уравнение к стандартному виду:
$10z^2 + 35z - 75 = 0$.
Все коэффициенты (10, 35, -75) делятся на 5. Упростим уравнение, разделив его на 5:
$\frac{10z^2}{5} + \frac{35z}{5} - \frac{75}{5} = \frac{0}{5}$
$2z^2 + 7z - 15 = 0$.
Решаем с помощью дискриминанта. Здесь $a = 2$, $b = 7$, $c = -15$.
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169$.
$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.
Найдем корни:
$z_1 = \frac{-7 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$.
$z_2 = \frac{-7 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5$.
Ответ: $z_1 = 1,5, z_2 = -5$.