Номер 437, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 437, страница 129.

Условие.

437 a) $x^2 + 5x - 6 = 0;$

б) $x^2 + 3x + 2 = 0;$

В) $z^2 - 2z - 3 = 0;$

Г) $t^2 + t - 6 = 0;$

Д) $x^2 - 4x - 21 = 0;$

е) $x^2 + 9x + 18 = 0;$

ж) $a^2 - 7a + 6 = 0;$

З) $b^2 - 4b - 60 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^2 + 5x - 6 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=5$, $c=-6$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставляем значения коэффициентов:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Ответ: $1; -6$.

б) $x^2 + 3x + 2 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=3$, $c=2$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Дискриминант больше нуля, находим два корня:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $-1; -2$.

в) $z^2 - 2z - 3 = 0$

Квадратное уравнение с переменной $z$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-3$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Находим корни уравнения:

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$z_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$z_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $3; -1$.

г) $t^2 + t - 6 = 0$

Квадратное уравнение с переменной $t$. Коэффициенты: $a=1$, $b=1$, $c=-6$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Находим корни уравнения:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $2; -3$.

д) $x^2 - 4x - 21 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-4$, $c=-21$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$

Находим корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $7; -3$.

е) $x^2 + 9x + 18 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=9$, $c=18$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$

Находим корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 3}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 3}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Ответ: $-3; -6$.

ж) $a^2 - 7a + 6 = 0$

Квадратное уравнение с переменной $a$. Коэффициенты: $a_{coeff}=1$, $b_{coeff}=-7$, $c_{coeff}=6$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$

Находим корни уравнения:

$a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a_{coeff}}$

$a_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$a_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $6; 1$.

з) $b^2 - 4b - 60 = 0$

Квадратное уравнение с переменной $b$. Коэффициенты: $a=1$, $b_{coeff}=-4$, $c=-60$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b_{coeff}^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256$

Находим корни уравнения:

$b_{1,2} = \frac{-b_{coeff} \pm \sqrt{D}}{2a}$

$b_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$b_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 16}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Ответ: $10; -6$.