Номер 436, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 436, страница 129.

Условие.

Убедитесь, что уравнение имеет два корня, и найдите эти корни (436—437).

436 а) $2x^2 + 3x + 1 = 0;$

б) $3y^2 + 7y - 6 = 0;$

в) $4z^2 - 11z - 3 = 0;$

г) $3x^2 + 7x + 2 = 0;$

д) $2z^2 + 5z + 3 = 0;$

е) $2z^2 - 9z - 5 = 0;$

ж) $7y^2 + 9y + 2 = 0;$

з) $6x^2 - 13x - 5 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Рассмотрим уравнение $2x^2 + 3x + 1 = 0$. Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=3$, $c=1$.
Чтобы определить количество корней, вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$.
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
Ответ: $-1$; $-0,5$.

б) Рассмотрим уравнение $3y^2 + 7y - 6 = 0$. Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=3$, $b=7$, $c=-6$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$.
Так как $D = 121 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$y_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
$y_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3$.
Ответ: $-3$; $\frac{2}{3}$.

в) Рассмотрим уравнение $4z^2 - 11z - 3 = 0$. Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=4$, $b=-11$, $c=-3$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$.
Так как $D = 169 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$z_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{11 + 13}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
$z_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{11 - 13}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$; $3$.

г) Рассмотрим уравнение $3x^2 + 7x + 2 = 0$. Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=3$, $b=7$, $c=2$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.
Так как $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 5}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 5}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
Ответ: $-2$; $-\frac{1}{3}$.

д) Рассмотрим уравнение $2z^2 + 5z + 3 = 0$. Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=5$, $c=3$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.
Так как $D = 1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$z_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
$z_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Ответ: $-1,5$; $-1$.

е) Рассмотрим уравнение $2z^2 - 9z - 5 = 0$. Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=-9$, $c=-5$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$.
Так как $D = 121 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$z_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
$z_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 11}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$.
Ответ: $-0,5$; $5$.

ж) Рассмотрим уравнение $7y^2 + 9y + 2 = 0$. Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=7$, $b=9$, $c=2$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25$.
Так как $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$y_1 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{-9 + 5}{14} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}$.
$y_2 = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{-9 - 5}{14} = \frac{-14}{14} = -1$.
Ответ: $-1$; $-\frac{2}{7}$.

з) Рассмотрим уравнение $6x^2 - 13x - 5 = 0$. Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=6$, $b=-13$, $c=-5$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 169 + 120 = 289$.
Так как $D = 289 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 17}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2,5$.
$x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 17}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$; $2,5$.