Номер 432, страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.1. Какие уравнения называют квадратными. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 432, страница 124.

Условие.

432 РАССУЖДАЕМ Составьте какое-нибудь квадратное уравнение, которое:

а) не имеет корней;

б) имеет два целых корня;

в) имеет два иррациональных корня;

г) имеет один корень.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) не имеет корней;

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. Нам нужно подобрать такие коэффициенты $a$, $b$ и $c$, чтобы выполнялось условие $D < 0$.

Возьмем, к примеру, $a=1$. Тогда условие превращается в $b^2 - 4c < 0$, или $b^2 < 4c$. Выберем простые целые значения для $b$ и $c$. Пусть $b=1$, тогда $1 < 4c$, откуда $c > 1/4$. Возьмем $c=1$.

Таким образом, мы получаем уравнение $x^2 + x + 1 = 0$. Проверим его дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Поскольку $D = -3 < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $x^2 + x + 1 = 0$

б) имеет два целых корня;

Чтобы составить квадратное уравнение с двумя целыми корнями, удобно воспользоваться обратной теоремой Виета. Если $x_1$ и $x_2$ — это корни приведенного квадратного уравнения (с коэффициентом $a=1$), то уравнение можно записать в виде $(x-x_1)(x-x_2)=0$, что после раскрытия скобок дает $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$. Если мы выберем целые числа в качестве корней, то коэффициенты уравнения также будут целыми.

Выберем два произвольных целых корня, например, $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Найдем их сумму $x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5$ и произведение $x_1x_2 = 2 \cdot 3 = 6$.

Подставив эти значения в формулу, получим уравнение: $x^2 - 5x + 6 = 0$. Его корнями являются числа 2 и 3, которые оба являются целыми.

Ответ: $x^2 - 5x + 6 = 0$

в) имеет два иррациональных корня;

Корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$. Чтобы корни были иррациональными, дискриминант $D$ должен быть положительным ($D>0$), но при этом не должен являться точным квадратом какого-либо рационального числа. В этом случае $\sqrt{D}$ будет иррациональным числом, и, как следствие, корни уравнения также будут иррациональными.

Подберем коэффициенты $a$, $b$ и $c$. Возьмем $a=1$ и $c=1$. Тогда дискриминант $D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = b^2 - 4$. Нам нужно, чтобы $b^2 - 4$ было положительным числом, не являющимся полным квадратом.

Пусть $b=3$. Тогда $D = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$. Число 5 положительное и не является квадратом целого числа, значит $\sqrt{5}$ — иррациональное число. Уравнение имеет вид $x^2 + 3x + 1 = 0$. Его корни $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ являются иррациональными.

Ответ: $x^2 + 3x + 1 = 0$

г) имеет один корень.

Квадратное уравнение имеет ровно один корень (или два совпадающих корня), когда его дискриминант равен нулю: $D = b^2 - 4ac = 0$. Это означает, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат двучлена, то есть может быть записана в виде $(kx+m)^2 = 0$.

Самый простой способ составить такое уравнение — выбрать корень и возвести соответствующий двучлен в квадрат. Пусть единственный корень уравнения равен $x=4$. Тогда уравнение можно записать как $(x-4)^2 = 0$.

Раскроем скобки: $(x-4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$. Итак, мы получили уравнение $x^2 - 8x + 16 = 0$.

Проверим его дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0$. Так как $D=0$, у уравнения один корень, что и требовалось.

Ответ: $x^2 - 8x + 16 = 0$