Номер 429, страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.1. Какие уравнения называют квадратными. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 429, страница 124.

Условие.

429 Решите уравнение, выделив квадрат двучлена:

а) $x^2 + 12x + 20 = 0$;

б) $y^2 + 14y + 24 = 0$;

в) $z^2 - 6z + 9 = 0$;

г) $y^2 - 2y + 3 = 0$.

Подсказка. В качестве образцов используйте примеры 1 и 2.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^2 + 12x + 20 = 0$

Для решения уравнения методом выделения квадрата двучлена воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем уравнении $x^2 + 12x + 20 = 0$, $a=x$. Слагаемое $12x$ является удвоенным произведением $2ab$, то есть $2 \cdot x \cdot b = 12x$, откуда $b=6$.
Чтобы получить полный квадрат $(x+6)^2$, нам необходимо слагаемое $b^2 = 6^2 = 36$.
Добавим и вычтем $36$ в левой части уравнения, чтобы не изменить его:
$x^2 + 12x + 36 - 36 + 20 = 0$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат:
$(x^2 + 12x + 36) - 36 + 20 = 0$

Свернем скобку по формуле и упростим оставшиеся числа:
$(x+6)^2 - 16 = 0$

Теперь решим полученное уравнение:
$(x+6)^2 = 16$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x+6 = \pm\sqrt{16}$
$x+6 = \pm4$

Разобьем на два случая:
1) $x+6 = 4 \Rightarrow x_1 = 4 - 6 = -2$
2) $x+6 = -4 \Rightarrow x_2 = -4 - 6 = -10$

Ответ: -10; -2.

б) $y^2 + 14y + 24 = 0$

Выделим квадрат двучлена. Здесь $2b = 14$, значит, $b=7$, а $b^2 = 7^2 = 49$.
Добавим и вычтем $49$ в левой части:
$y^2 + 14y + 49 - 49 + 24 = 0$

Группируем и сворачиваем полный квадрат:
$(y^2 + 14y + 49) - 49 + 24 = 0$
$(y+7)^2 - 25 = 0$

Решаем уравнение:
$(y+7)^2 = 25$
$y+7 = \pm\sqrt{25}$
$y+7 = \pm5$

Находим корни:
1) $y+7 = 5 \Rightarrow y_1 = 5 - 7 = -2$
2) $y+7 = -5 \Rightarrow y_2 = -5 - 7 = -12$

Ответ: -12; -2.

в) $z^2 - 6z + 9 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения уже является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=z$ и $b=3$.
$z^2 - 2 \cdot z \cdot 3 + 3^2 = 0$

Свернем выражение в квадрат двучлена:
$(z-3)^2 = 0$

Извлекаем корень:
$z-3 = 0$
$z = 3$

Ответ: 3.

г) $y^2 - 2y + 3 = 0$

Выделим квадрат двучлена. Здесь $2b=2$, значит, $b=1$, а $b^2 = 1^2 = 1$.
Добавим и вычтем $1$ в левой части:
$y^2 - 2y + 1 - 1 + 3 = 0$

Группируем и сворачиваем полный квадрат:
$(y^2 - 2y + 1) - 1 + 3 = 0$
$(y-1)^2 + 2 = 0$

Перенесем 2 в правую часть:
$(y-1)^2 = -2$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Так как $(y-1)^2 \ge 0$ для любого $y$, а $-2 < 0$, то уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.