Номер 428, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.1. Какие уравнения называют квадратными. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 428, страница 123.

Условие.

428 Заполните пропуски в цепочке равенств:

а) $x^2 + 4x - 1 = x^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + \ldots - \ldots - 1 = (x + \ldots)^2 - \ldots;$

б) $a^2 - 6a + 15 = a^2 - 2 \cdot 3 \cdot a + \ldots - \ldots + 15 = (a - \ldots)^2 + \ldots;$

В) $b^2 - 3b + 3 = b^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot b + \ldots - \ldots + 3 = (\ldots - \ldots)^2 + \ldots;$

Г) $p^2 - 7p - 10 = p^2 - 2 \cdot \frac{7}{2} \cdot p + \ldots - \ldots - 10 = (\ldots - \ldots)^2 - \ldots$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) В выражении $x^2 + 4x - 1$ для выделения полного квадрата по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ мы видим, что $a=x$, а $2ab = 4x$, откуда $b=2$. Недостающее слагаемое для полного квадрата — это $b^2 = 2^2 = 4$. Чтобы не изменить исходное выражение, мы должны добавить и вычесть это число:
$x^2 + 4x + 4 - 4 - 1$.
Теперь группируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат, и вычисляем оставшуюся часть:
$(x^2 + 4x + 4) - 4 - 1 = (x+2)^2 - 5$.
Таким образом, заполненная цепочка равенств выглядит так:
$x^2 + 4x - 1 = x^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + 4 - 4 - 1 = (x + 2)^2 - 5$.
Ответ: $x^2 + 4x - 1 = x^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + \mathbf{4} - \mathbf{4} - 1 = (x + \mathbf{2})^2 - \mathbf{5}$

б) В выражении $a^2 - 6a + 15$ для выделения полного квадрата по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ мы видим, что $x=a$, а $2xy = 6a$, откуда $y=3$. Недостающее слагаемое для полного квадрата — это $y^2 = 3^2 = 9$. Добавляем и вычитаем это число:
$a^2 - 6a + 9 - 9 + 15$.
Группируем первые три слагаемых и вычисляем оставшуюся часть:
$(a^2 - 6a + 9) - 9 + 15 = (a-3)^2 + 6$.
Таким образом, заполненная цепочка равенств выглядит так:
$a^2 - 6a + 15 = a^2 - 2 \cdot 3 \cdot a + 9 - 9 + 15 = (a - 3)^2 + 6$.
Ответ: $a^2 - 6a + 15 = a^2 - 2 \cdot 3 \cdot a + \mathbf{9} - \mathbf{9} + 15 = (a - \mathbf{3})^2 + \mathbf{6}$

в) В выражении $b^2 - 3b + 3$ для выделения полного квадрата по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ мы видим, что $x=b$, а $2xy = 3b$, откуда $y=\frac{3}{2}$. Недостающее слагаемое — это $y^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$. Добавляем и вычитаем это число:
$b^2 - 3b + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 3$.
Группируем, сворачиваем квадрат и вычисляем остаток:
$(b^2 - 3b + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 3 = (b - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{12}{4} = (b - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}$.
Заполненная цепочка равенств (где в скобках $(\dots - \dots)^2$ первый пропуск это переменная $b$):
$b^2 - 3b + 3 = b^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot b + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 3 = (b - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}$.
Ответ: $b^2 - 3b + 3 = b^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot b + \mathbf{\frac{9}{4}} - \mathbf{\frac{9}{4}} + 3 = (\mathbf{b} - \mathbf{\frac{3}{2}})^2 + \mathbf{\frac{3}{4}}$

г) В выражении $p^2 - 7p - 10$ для выделения полного квадрата по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ мы видим, что $x=p$, а $2xy = 7p$, откуда $y=\frac{7}{2}$. Недостающее слагаемое — это $y^2 = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$. Добавляем и вычитаем это число:
$p^2 - 7p + \frac{49}{4} - \frac{49}{4} - 10$.
Группируем, сворачиваем квадрат и вычисляем остаток:
$(p^2 - 7p + \frac{49}{4}) - \frac{49}{4} - 10 = (p - \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} - \frac{40}{4} = (p - \frac{7}{2})^2 - \frac{89}{4}$.
Заполненная цепочка равенств (где в скобках $(\dots - \dots)^2$ первый пропуск это переменная $p$):
$p^2 - 7p - 10 = p^2 - 2 \cdot \frac{7}{2} \cdot p + \frac{49}{4} - \frac{49}{4} - 10 = (p - \frac{7}{2})^2 - \frac{89}{4}$.
Ответ: $p^2 - 7p - 10 = p^2 - 2 \cdot \frac{7}{2} \cdot p + \mathbf{\frac{49}{4}} - \mathbf{\frac{49}{4}} - 10 = (\mathbf{p} - \mathbf{\frac{7}{2}})^2 - \mathbf{\frac{89}{4}}$