Номер 3, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту 3.1. 3.1. Какие уравнения называют квадратными. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3, страница 123.

Условие.

Разберите, как решено уравнение в примере 1. Решите этим же приёмом уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$.

Решение 3.

Решение 4.

Задача состоит из двух частей: разбор метода решения и применение этого метода для решения конкретного уравнения. Поскольку "пример 1" не предоставлен, мы разберем сам метод — выделение полного квадрата, — а затем применим его.

Разберите, как решено уравнение в примере 1.

Предполагаемый метод решения — выделение полного квадрата. Суть этого метода заключается в том, чтобы преобразовать левую часть квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ к виду, содержащему полный квадрат $(x+k)^2$. Для этого используются формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Цель — определить, какое число нужно прибавить (и вычесть, чтобы сохранить равенство) к выражению $x^2+px$, чтобы получился полный квадрат. Это число всегда равно $(\frac{p}{2})^2$. Например, для выражения $x^2-4x$, коэффициент при $x$ равен $-4$. Половина этого коэффициента равна $-2$, а ее квадрат равен $(-2)^2=4$. Таким образом, добавив 4, мы получим полный квадрат: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

Ответ: Метод решения — выделение полного квадрата. Он заключается в преобразовании части уравнения к виду $(x \pm k)^2$ с помощью формул сокращенного умножения.

Решите этим же приёмом уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$.

Дано уравнение:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

1. Перенесем свободный член (число 3) в правую часть уравнения, изменив его знак:

$x^2 - 4x = -3$

2. Чтобы выделить в левой части полный квадрат, нам нужно, как мы выяснили выше, добавить число 4 (квадрат половины коэффициента при $x$). Чтобы уравнение осталось верным, мы должны добавить это же число и в правую часть:

$x^2 - 4x + 4 = -3 + 4$

3. Теперь левую часть уравнения можно свернуть по формуле квадрата разности, а правую часть — упростить:

$(x-2)^2 = 1$

4. Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа есть два корня — положительный и отрицательный:

$x - 2 = \pm\sqrt{1}$

$x - 2 = \pm1$

5. Из последнего равенства получаем два линейных уравнения, решив которые найдем корни исходного уравнения:

Случай 1:

$x - 2 = 1$

$x_1 = 1 + 2 = 3$

Случай 2:

$x - 2 = -1$

$x_2 = -1 + 2 = 1$

Корнями уравнения являются числа 1 и 3.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 3$.