Номер 18, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверь себя. Глава 2. Квадратные корни - номер 18, страница 119.

Условие.

18. Упростите выражение $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - \sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить действия по порядку. Выражение состоит из двух частей: $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$ и $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$. Упростим каждую часть отдельно.

1. Раскроем скобки в первой части. Для этого используем формулу сокращенного умножения "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = \sqrt{5}$ и $b = \sqrt{3}$.
$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$.
По определению квадратного корня $(\sqrt{x})^2 = x$, поэтому $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$.
Произведение корней равно корню из произведения: $\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{15}$.
Таким образом, первая часть выражения равна: $5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$.

2. Упростим вторую часть выражения. Здесь мы также используем свойство произведения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$.
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64}$.
Квадратный корень из 64 равен 8, так как $8^2 = 64$.
Следовательно, вторая часть выражения равна 8.

3. Выполним вычитание. Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:
$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - \sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = (8 + 2\sqrt{15}) - 8$.
$8 + 2\sqrt{15} - 8 = 2\sqrt{15}$.

Ответ: $2\sqrt{15}$.