Номер 14, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверь себя. Глава 2. Квадратные корни - номер 14, страница 118.

Условие.

14 Найдите значение выражения $\frac{2\sqrt{21} \cdot 6\sqrt{35}}{7\sqrt{60}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения значения данного выражения необходимо выполнить последовательное упрощение, используя свойства квадратных корней.

Исходное выражение:

$$ \frac{2\sqrt{21} \cdot 6\sqrt{35}}{7\sqrt{60}} $$

1. Вначале перемножим коэффициенты перед корнями в числителе и объединим все корни в одно выражение, используя правила умножения и деления корней ($ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $ и $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $):

$$ \frac{2 \cdot 6}{7} \cdot \frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{35}}{\sqrt{60}} = \frac{12}{7} \cdot \sqrt{\frac{21 \cdot 35}{60}} $$

2. Теперь упростим дробь под знаком корня. Для этого разложим числа в числителе и знаменателе на простые множители:

$ 21 = 3 \cdot 7 $
$ 35 = 5 \cdot 7 $
$ 60 = 4 \cdot 15 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 $

Подставим эти разложения в выражение под корнем:

$$ \sqrt{\frac{(3 \cdot 7) \cdot (5 \cdot 7)}{2^2 \cdot 3 \cdot 5}} $$

3. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе дроби под корнем:

$$ \sqrt{\frac{\cancel{3} \cdot \cancel{5} \cdot 7 \cdot 7}{2^2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5}}} = \sqrt{\frac{7 \cdot 7}{2^2}} = \sqrt{\frac{7^2}{2^2}} $$

4. Извлечем квадратный корень из полученной дроби:

$$ \sqrt{\frac{7^2}{2^2}} = \frac{7}{2} $$

5. Подставим результат обратно в наше основное выражение и выполним вычисления:

$$ \frac{12}{7} \cdot \frac{7}{2} $$

Сокращаем 7 в числителе и знаменателе, а также 12 и 2:

$$ \frac{12 \cdot 7}{7 \cdot 2} = \frac{12}{2} = 6 $$

Ответ: 6