Номер 16, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверь себя. Глава 2. Квадратные корни - номер 16, страница 119.

Условие.

16 Сократите дробь $\frac{2\sqrt{8} + 3\sqrt{20} - 6\sqrt{5}}{4\sqrt{3} - 2\sqrt{12} + \sqrt{18}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы сократить дробь, необходимо сначала упростить выражения в числителе и знаменателе. Для этого мы будем выносить множители из-под знака корня, используя свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для неотрицательных $a$ и $b$.

Упрощение числителя

Рассмотрим числитель: $2\sqrt{8} + 3\sqrt{20} - 6\sqrt{5}$.

Упростим каждый член, разложив подкоренные выражения на множители:

$2\sqrt{8} = 2\sqrt{4 \cdot 2} = 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

$3\sqrt{20} = 3\sqrt{4 \cdot 5} = 3 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$.

Теперь подставим упрощенные члены обратно в выражение числителя и приведем подобные слагаемые:

$2\sqrt{8} + 3\sqrt{20} - 6\sqrt{5} = 4\sqrt{2} + 6\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 4\sqrt{2}$.

Таким образом, числитель равен $4\sqrt{2}$.

Упрощение знаменателя

Рассмотрим знаменатель: $4\sqrt{3} - 2\sqrt{12} + \sqrt{18}$.

Упростим каждый член по отдельности:

$-2\sqrt{12} = -2\sqrt{4 \cdot 3} = -2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = -2 \cdot 2\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$.

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Теперь подставим упрощенные члены обратно в выражение знаменателя и приведем подобные слагаемые:

$4\sqrt{3} - 2\sqrt{12} + \sqrt{18} = 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Таким образом, знаменатель равен $3\sqrt{2}$.

Сокращение дроби

Теперь, когда числитель и знаменатель упрощены, мы можем подставить их обратно в дробь:

$$ \frac{2\sqrt{8} + 3\sqrt{20} - 6\sqrt{5}}{4\sqrt{3} - 2\sqrt{12} + \sqrt{18}} = \frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} $$

В полученной дроби есть общий множитель $\sqrt{2}$, который можно сократить:

$$ \frac{4\cancel{\sqrt{2}}}{3\cancel{\sqrt{2}}} = \frac{4}{3} $$

Дробь также можно представить в виде смешанного числа $1\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$