Страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

16 Сократите дробь $\frac{2\sqrt{8} + 3\sqrt{20} - 6\sqrt{5}}{4\sqrt{3} - 2\sqrt{12} + \sqrt{18}}$.

Чтобы сократить дробь, необходимо сначала упростить выражения в числителе и знаменателе. Для этого мы будем выносить множители из-под знака корня, используя свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для неотрицательных $a$ и $b$.

Упрощение числителя

Рассмотрим числитель: $2\sqrt{8} + 3\sqrt{20} - 6\sqrt{5}$.

Упростим каждый член, разложив подкоренные выражения на множители:

$2\sqrt{8} = 2\sqrt{4 \cdot 2} = 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

$3\sqrt{20} = 3\sqrt{4 \cdot 5} = 3 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$.

Теперь подставим упрощенные члены обратно в выражение числителя и приведем подобные слагаемые:

$2\sqrt{8} + 3\sqrt{20} - 6\sqrt{5} = 4\sqrt{2} + 6\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 4\sqrt{2}$.

Таким образом, числитель равен $4\sqrt{2}$.

Упрощение знаменателя

Рассмотрим знаменатель: $4\sqrt{3} - 2\sqrt{12} + \sqrt{18}$.

Упростим каждый член по отдельности:

$-2\sqrt{12} = -2\sqrt{4 \cdot 3} = -2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = -2 \cdot 2\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$.

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Теперь подставим упрощенные члены обратно в выражение знаменателя и приведем подобные слагаемые:

$4\sqrt{3} - 2\sqrt{12} + \sqrt{18} = 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Таким образом, знаменатель равен $3\sqrt{2}$.

Сокращение дроби

Теперь, когда числитель и знаменатель упрощены, мы можем подставить их обратно в дробь:

В полученной дроби есть общий множитель $\sqrt{2}$, который можно сократить:

Дробь также можно представить в виде смешанного числа $1\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

17 Какое из следующих выражений не равно $\frac{2}{\sqrt{18}}$?

1) $\sqrt{\frac{1}{9}}$

2) $\sqrt{\frac{2}{9}}$

3) $\frac{\sqrt{2}}{3}$

4) $\frac{2}{3\sqrt{2}}$

Для того чтобы найти, какое из предложенных выражений не равно $\frac{2}{\sqrt{18}}$, необходимо сначала упростить исходное выражение, а затем сравнить его с каждым из вариантов.

Упростим выражение $\frac{2}{\sqrt{18}}$.

1. Вынесем множитель из-под знака корня в знаменателе: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

2. Подставим полученное значение в дробь: $\frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}}$.

3. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{6}$.

4. Сократим дробь на 2: $\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Итак, исходное выражение равно $\frac{\sqrt{2}}{3}$. Теперь последовательно проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $\sqrt{\frac{1}{9}}$

Упростим данное выражение: $\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$.

Сравниваем полученный результат с упрощенным исходным выражением: $\frac{1}{3} \neq \frac{\sqrt{2}}{3}$. Следовательно, это выражение не равно исходному.

2) $\sqrt{\frac{2}{9}}$

Упростим данное выражение: $\sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$.

Данное выражение равно исходному.

3) $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Это выражение уже представлено в упрощенном виде, который мы получили ранее. Оно равно исходному.

4) $\frac{2}{3\sqrt{2}}$

Это выражение мы получили на втором шаге упрощения исходного выражения. Оно также равно $\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Таким образом, единственное выражение, которое не равно $\frac{2}{\sqrt{18}}$, — это выражение под номером 1.

Ответ: 1

18. Упростите выражение $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - \sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить действия по порядку. Выражение состоит из двух частей: $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$ и $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$. Упростим каждую часть отдельно.

1. Раскроем скобки в первой части. Для этого используем формулу сокращенного умножения "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = \sqrt{5}$ и $b = \sqrt{3}$.
$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$.
По определению квадратного корня $(\sqrt{x})^2 = x$, поэтому $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$.
Произведение корней равно корню из произведения: $\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{15}$.
Таким образом, первая часть выражения равна: $5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$.

2. Упростим вторую часть выражения. Здесь мы также используем свойство произведения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$.
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64}$.
Квадратный корень из 64 равен 8, так как $8^2 = 64$.
Следовательно, вторая часть выражения равна 8.

3. Выполним вычитание. Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:
$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - \sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = (8 + 2\sqrt{15}) - 8$.
$8 + 2\sqrt{15} - 8 = 2\sqrt{15}$.

Ответ: $2\sqrt{15}$.

19 Найдите значение выражения $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$.

Для нахождения значения выражения $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$ можно воспользоваться свойством корня из дроби. Это свойство гласит, что корень n-ой степени из дроби равен дроби, числитель которой — корень n-ой степени из числителя исходной дроби, а знаменатель — корень n-ой степени из ее знаменателя. Математически это записывается так: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (при $a \ge 0$ и $b > 0$).

Применим это свойство к заданному выражению:

$\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}}$

Теперь вычислим значения корней в числителе и знаменателе по отдельности.

1. Корень четвертой степени из 1. Нам нужно найти число, которое при возведении в четвертую степень дает 1. Таким числом является 1, поскольку $1^4 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

$\sqrt[4]{1} = 1$

2. Корень четвертой степени из 81. Нам нужно найти число, которое при возведении в четвертую степень дает 81. Можно заметить, что $81 = 9 \cdot 9 = (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) = 3^4$.

Следовательно, $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Теперь, когда мы нашли значения для числителя и знаменателя, подставим их обратно в дробь:

$\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

20 Укажите два последовательных целых числа, между которыми заключено число $\sqrt[3]{30}$.

Для того чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt[3]{30}$, нам нужно найти такое целое число $n$, что выполняется двойное неравенство: $n < \sqrt[3]{30} < n+1$.

Чтобы избавиться от кубического корня и работать с целыми числами, возведем все части неравенства в третью степень. Поскольку функция возведения в куб является монотонно возрастающей, знаки неравенства сохраняются:

$n^3 < (\sqrt[3]{30})^3 < (n+1)^3$

Выполнив вычисление в средней части, получаем:

$n^3 < 30 < (n+1)^3$

Теперь наша задача — найти два последовательных куба целых чисел, между которыми находится число 30. Рассмотрим кубы нескольких первых натуральных чисел:

$1^3 = 1$

$2^3 = 8$

$3^3 = 27$

$4^3 = 64$

Из этого ряда мы видим, что число 30 находится между 27 и 64:

$27 < 30 < 64$

Так как $27 = 3^3$ и $64 = 4^3$, мы можем переписать это неравенство следующим образом:

$3^3 < 30 < 4^3$

Это неравенство эквивалентно исходному. Если мы извлечем кубический корень из всех его частей, то получим:

$\sqrt[3]{3^3} < \sqrt[3]{30} < \sqrt[3]{4^3}$

$3 < \sqrt[3]{30} < 4$

Таким образом, число $\sqrt[3]{30}$ заключено между двумя последовательными целыми числами 3 и 4.

Ответ: 3 и 4.