Страница 117 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

9 а) Найдите квадратные корни из числа: 64; $\frac{4}{9}$; 0,49; 3; 2,7.

б) Найдите арифметический квадратный корень из числа: 100; $\frac{1}{4}$; 0,09; 5.

а) Квадратным корнем из числа $a$ называется такое число $x$, что $x^2 = a$. Для любого положительного числа существует два квадратных корня: положительный и отрицательный, которые являются противоположными числами.

• Для числа 64: необходимо найти числа, квадрат которых равен 64. Такими числами являются 8 и -8, поскольку $8^2 = 64$ и $(-8)^2 = 64$.

• Для числа $\frac{4}{9}$: необходимо найти числа, квадрат которых равен $\frac{4}{9}$. Такими числами являются $\frac{2}{3}$ и $-\frac{2}{3}$, поскольку $(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$ и $(-\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$.

• Для числа 0,49: необходимо найти числа, квадрат которых равен 0,49. Такими числами являются 0,7 и -0,7, поскольку $0,7^2 = 0,49$ и $(-0,7)^2 = 0,49$.

• Для числа 3: так как 3 не является квадратом рационального числа, его квадратные корни — это иррациональные числа $\sqrt{3}$ и $-\sqrt{3}$.

• Для числа 2,7: так как 2,7 не является квадратом рационального числа, его квадратные корни — это иррациональные числа $\sqrt{2,7}$ и $-\sqrt{2,7}$.

Ответ: для 64: $\pm8$; для $\frac{4}{9}$: $\pm\frac{2}{3}$; для 0,49: $\pm0,7$; для 3: $\pm\sqrt{3}$; для 2,7: $\pm\sqrt{2,7}$.

б) Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Он обозначается символом $\sqrt{a}$.

• Для числа 100: ищем неотрицательное число, квадрат которого равен 100. Это число 10, так как $10^2 = 100$ и $10 \ge 0$. Таким образом, $\sqrt{100} = 10$.

• Для числа $\frac{1}{4}$: ищем неотрицательное число, квадрат которого равен $\frac{1}{4}$. Это число $\frac{1}{2}$, так как $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ и $\frac{1}{2} \ge 0$. Таким образом, $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

• Для числа 0,09: ищем неотрицательное число, квадрат которого равен 0,09. Это число 0,3, так как $0,3^2 = 0,09$ и $0,3 \ge 0$. Таким образом, $\sqrt{0,09} = 0,3$.

• Для числа 5: ищем неотрицательное число, квадрат которого равен 5. Так как 5 не является точным квадратом рационального числа, его арифметический корень — это иррациональное число $\sqrt{5}$.

Ответ: для 100: $10$; для $\frac{1}{4}$: $\frac{1}{2}$; для 0,09: $0,3$; для 5: $\sqrt{5}$.

10 Решите уравнение:

а) $x^2 = 64$;

б) $x^2 - 144 = 0$;

В) $x^2 + 25 = 0$;

Г) $x^2 - 5 = 0$;

Д) $(x - 1)^2 = 9$;

е) $(x + 5)^2 = 0$.

а) Решим уравнение $x^2 = 64$. Для нахождения значения $x$ необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения: положительное и отрицательное.
$x = \pm\sqrt{64}$
$x_1 = 8$
$x_2 = -8$
Ответ: $x = \pm8$.

б) Решим уравнение $x^2 - 144 = 0$. Сначала перенесем свободный член в правую часть уравнения, изменив его знак.
$x^2 = 144$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{144}$
$x_1 = 12$
$x_2 = -12$
Ответ: $x = \pm12$.

в) Решим уравнение $x^2 + 25 = 0$. Перенесем свободный член в правую часть уравнения.
$x^2 = -25$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). Так как правая часть уравнения отрицательна, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: нет корней.

г) Решим уравнение $x^2 - 5 = 0$. Перенесем свободный член в правую часть.
$x^2 = 5$
Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как 5 не является полным квадратом, корень будет иррациональным числом.
$x = \pm\sqrt{5}$
$x_1 = \sqrt{5}$
$x_2 = -\sqrt{5}$
Ответ: $x = \pm\sqrt{5}$.

д) Решим уравнение $(x - 1)^2 = 9$. Извлечем квадратный корень из обеих частей.
$x - 1 = \pm\sqrt{9}$
$x - 1 = \pm3$
Рассмотрим два возможных случая:
1) $x - 1 = 3 \implies x = 3 + 1 \implies x_1 = 4$
2) $x - 1 = -3 \implies x = -3 + 1 \implies x_2 = -2$
Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -2$.

е) Решим уравнение $(x + 5)^2 = 0$. Извлечем квадратный корень из обеих частей.
$x + 5 = \pm\sqrt{0}$
$x + 5 = 0$
Перенесем 5 в правую часть:
$x = -5$
Данное уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).
Ответ: $x = -5$.

11 Вычислите, не пользуясь калькулятором:

a) $\sqrt{0,25 \cdot 0,36}$;

б) $\sqrt{\frac{256}{81}}$;

в) $\sqrt{3^2 \cdot 5^4 \cdot 2^6}$.

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{0,25 \cdot 0,36}$ воспользуемся свойством "корень из произведения равен произведению корней": $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
Применим это свойство: $\sqrt{0,25 \cdot 0,36} = \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{0,36}$.
Вычислим каждый корень по отдельности: $\sqrt{0,25} = 0,5$ (так как $0,5^2 = 0,25$);
$\sqrt{0,36} = 0,6$ (так как $0,6^2 = 0,36$).
Теперь перемножим полученные значения: $0,5 \cdot 0,6 = 0,3$.
Ответ: 0,3.

б) Для вычисления значения выражения $\sqrt{\frac{256}{81}}$ воспользуемся свойством "корень из частного (дроби) равен частному корней": $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
Применим это свойство: $\sqrt{\frac{256}{81}} = \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{81}}$.
Вычислим корень из числителя и знаменателя: $\sqrt{256} = 16$ (так как $16^2 = 256$);
$\sqrt{81} = 9$ (так как $9^2 = 81$).
В результате получаем дробь: $\frac{16}{9}$.
Можно также представить ответ в виде смешанного числа: $1\frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{16}{9}$.

в) Для вычисления значения выражения $\sqrt{3^2 \cdot 5^4 \cdot 2^6}$ используем свойство корня из произведения, а также правило извлечения корня из степени: $\sqrt{a^{2n}} = a^n$.
Разобьем корень из произведения на произведение корней: $\sqrt{3^2 \cdot 5^4 \cdot 2^6} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^4} \cdot \sqrt{2^6}$.
Теперь извлечем корень из каждого множителя, разделив его показатель степени на 2: $\sqrt{3^2} = 3^{2/2} = 3^1 = 3$;
$\sqrt{5^4} = 5^{4/2} = 5^2 = 25$;
$\sqrt{2^6} = 2^{6/2} = 2^3 = 8$.
Перемножим полученные результаты: $3 \cdot 25 \cdot 8 = 75 \cdot 8 = 600$. (Или удобнее: $3 \cdot (25 \cdot 8) = 3 \cdot 200 = 600$).
Ответ: 600.

12 Упростите выражение:

а) $5\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}$;

б) $3\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{20}$;

в) $\frac{(2\sqrt{5})^2}{10}$;

г) $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}}$;

д) $\frac{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{80}}$.

а) Для упрощения выражения $5\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}$ перемножим отдельно коэффициенты и отдельно корни. Используем коммутативный и ассоциативный законы умножения:
$5\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = (5 \cdot 2) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})$
Произведение коэффициентов: $5 \cdot 2 = 10$.
Произведение корней: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3$.
Результат: $10 \cdot 3 = 30$.
Ответ: 30

б) Для упрощения выражения $3\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{20}$ сгруппируем множители и воспользуемся свойством $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:
$3\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{20} = (3 \cdot 4) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}) = 12 \cdot \sqrt{5 \cdot 20} = 12 \cdot \sqrt{100}$
Так как $\sqrt{100} = 10$, получаем:
$12 \cdot 10 = 120$.
Ответ: 120

в) Для упрощения выражения $\frac{(2\sqrt{5})^2}{10}$ сначала возведем в квадрат числитель, используя свойство степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$:
$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
Теперь подставим полученное значение обратно в дробь и выполним деление:
$\frac{20}{10} = 2$.
Ответ: 2

г) Для упрощения дроби $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}}$ сначала упростим каждый корень, вынося множитель из-под знака корня.
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.
Подставим упрощенные корни в дробь:
$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}} = \frac{2\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}$.
Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ в числителе и знаменателе:
$\frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$

д) Для упрощения выражения $\frac{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{80}}$, сперва упростим числитель:
$2\sqrt{10} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{10 \cdot 2} = 2\sqrt{20}$.
Теперь выражение имеет вид $\frac{2\sqrt{20}}{\sqrt{80}}$.
Упростим корни в числителе и знаменателе, вынеся множители:
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{2 \cdot (2\sqrt{5})}{4\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$.
Сократив дробь на $4\sqrt{5}$, получаем 1.
Ответ: 1

13 Вынесите множитель из-под знака корня в выражении $0,5\sqrt{32}$.

Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $0,5\sqrt{32}$, необходимо упростить подкоренное выражение.

Разложение подкоренного выражения. Первым шагом представим число 32 в виде произведения двух чисел, где один из множителей является наибольшим возможным полным квадратом. Полные квадраты — это числа, являющиеся результатом возведения в квадрат целого числа ($1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, \dots$). Разложим число 32 на множители. Мы видим, что 32 делится на 16: $32 = 16 \times 2$ Число 16 является полным квадратом, так как $16 = 4^2$.

Упрощение радикала. Теперь заменим число 32 под корнем на полученное произведение: $0,5\sqrt{32} = 0,5\sqrt{16 \times 2}$ Далее воспользуемся свойством квадратного корня из произведения, которое гласит, что корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$. $0,5\sqrt{16 \times 2} = 0,5 \times \sqrt{16} \times \sqrt{2}$ Теперь извлечем корень из 16: $\sqrt{16} = 4$ Подставим это значение обратно в выражение: $0,5 \times 4 \times \sqrt{2}$

Окончательное вычисление. Осталось выполнить умножение коэффициентов, стоящих перед знаком корня: $0,5 \times 4 = 2$ Таким образом, итоговое упрощенное выражение выглядит так: $2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}$

14Внесите множитель под знак корня в выражении: $4\sqrt{2}$, $-2\sqrt{3}$.

Чтобы внести множитель под знак корня, необходимо возвести этот множитель в степень корня (в данном случае в квадрат, так как корень квадратный) и умножить на подкоренное выражение.

$4\sqrt{2}$

Множитель перед корнем — это положительное число 4. Чтобы внести его под знак квадратного корня, возводим 4 в квадрат и умножаем результат на число, стоящее под корнем, то есть на 2.

$4\sqrt{2} = \sqrt{4^2 \cdot 2}$

Теперь выполним вычисления под знаком корня:

$\sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}$

Ответ: $\sqrt{32}$.

$-2\sqrt{3}$

В данном выражении множитель перед корнем является отрицательным числом (-2). По правилу, при внесении отрицательного множителя под знак корня, знак "минус" остается перед корнем, а под корень вносится только модуль этого множителя (то есть положительное число 2).

Вносим 2 под знак корня, предварительно возведя его в квадрат, и умножаем на подкоренное выражение 3:

$-2\sqrt{3} = -\sqrt{2^2 \cdot 3}$

Выполняем вычисления под знаком корня:

$-\sqrt{4 \cdot 3} = -\sqrt{12}$

Ответ: $-\sqrt{12}$.

15 Сравните числа $5\sqrt{3}$ и $3\sqrt{6}$.

Чтобы сравнить числа $5\sqrt{3}$ и $3\sqrt{6}$, преобразуем их так, чтобы они были представлены в виде корня из числа. Для этого внесем множитель, стоящий перед знаком корня, под знак корня. Используем свойство $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ для $a \ge 0$.

Рассмотрим первое число $5\sqrt{3}$. Внесем множитель 5 под знак корня, возведя его в квадрат:

$5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$

Теперь рассмотрим второе число $3\sqrt{6}$. Внесем множитель 3 под знак корня, также возведя его в квадрат:

$3\sqrt{6} = \sqrt{3^2 \cdot 6} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}$

Теперь задача сводится к сравнению чисел $\sqrt{75}$ и $\sqrt{54}$.

Так как функция квадратного корня является возрастающей, то большему значению подкоренного выражения соответствует большее значение самого корня. Сравним подкоренные выражения: $75$ и $54$.

Поскольку $75 > 54$, то и $\sqrt{75} > \sqrt{54}$.

Следовательно, мы можем сделать вывод, что $5\sqrt{3} > 3\sqrt{6}$.

Ответ: $5\sqrt{3} > 3\sqrt{6}$.

16 Упростите выражение:

а) $3\sqrt{20} - 3\sqrt{45} + 4\sqrt{5}$;

б) $(1 + \sqrt{3})^2$;

в) $(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2).$

а) $3\sqrt{20} - 3\sqrt{45} + 4\sqrt{5}$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо вынести множитель из-под знака корня для $\sqrt{20}$ и $\sqrt{45}$. Для этого представим подкоренные выражения в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом.

Разложим 20 и 45 на множители:

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$3 \cdot (2\sqrt{5}) - 3 \cdot (3\sqrt{5}) + 4\sqrt{5} = 6\sqrt{5} - 9\sqrt{5} + 4\sqrt{5}$

Все слагаемые являются подобными, так как содержат одинаковый множитель $\sqrt{5}$. Выполним сложение и вычитание их коэффициентов:

$(6 - 9 + 4)\sqrt{5} = 1\sqrt{5} = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$

б) $(1 + \sqrt{3})^2$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат суммы": $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = 1$, а $b = \sqrt{3}$.

Применим формулу:

$(1 + \sqrt{3})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$

Выполним вычисления:

$1^2 = 1$

$2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

Сложим полученные результаты:

$1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$

Ответ: $4 + 2\sqrt{3}$

в) $(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)$

Это выражение соответствует формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = \sqrt{7}$, а $b = 2$.

Применим формулу:

$(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2) = (\sqrt{7})^2 - 2^2$

Выполним вычисления:

$(\sqrt{7})^2 = 7$

$2^2 = 4$

Найдем разность:

$7 - 4 = 3$

Ответ: $3$

17 Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{6}{\sqrt{3}}$.

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе, необходимо умножить и числитель, и знаменатель дроби на такое выражение, чтобы в знаменателе получилось рациональное число. В данном случае знаменатель равен $\sqrt{3}$. Для того чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$. Это не изменит значение дроби, так как мы по сути умножаем ее на 1 ($\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1$).

Выполним умножение:

$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}$

Зная, что $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$, получаем в знаменателе:

$\frac{6 \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3}$

Теперь сократим полученную дробь. Числитель 6 и знаменатель 3 делятся на 3:

$\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$

18 Найдите значение выражения $2y^2 - 3$ при $y = 1 - \sqrt{2}$.

Для того чтобы найти значение выражения $2y^2 - 3$ при $y = 1 - \sqrt{2}$, необходимо подставить данное значение $y$ в выражение и выполнить вычисления.

1. Подставляем $y = 1 - \sqrt{2}$ в выражение:

$2(1 - \sqrt{2})^2 - 3$

2. Сначала вычислим значение $(1 - \sqrt{2})^2$. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = 1$ и $b = \sqrt{2}$.

$(1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}$.

3. Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$2(3 - 2\sqrt{2}) - 3$

4. Раскроем скобки, умножив 2 на каждый член внутри скобок:

$2 \cdot 3 - 2 \cdot 2\sqrt{2} - 3 = 6 - 4\sqrt{2} - 3$

5. Приведем подобные слагаемые (вычтем 3 из 6):

$6 - 3 - 4\sqrt{2} = 3 - 4\sqrt{2}$

Ответ: $3 - 4\sqrt{2}$.

19 Найдите значение выражения $2y^3$ при $y = 2\sqrt{3}$.

Чтобы найти значение выражения, необходимо подставить значение переменной $y$ в выражение $2y^3$ и выполнить вычисления.

Дано выражение $2y^3$ и значение $y = 2\sqrt{3}$.

1. Подставим значение $y$ в выражение:

$2y^3 = 2 \cdot (2\sqrt{3})^3$

2. Возведем в куб выражение в скобках. Для этого воспользуемся свойством степени $(ab)^n = a^n \cdot b^n$:

$(2\sqrt{3})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt{3})^3$

3. Вычислим значения каждого множителя по отдельности:

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

$(\sqrt{3})^3 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

4. Теперь перемножим полученные результаты:

$8 \cdot 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$

5. Вернемся к исходному выражению и подставим вычисленное значение:

$2 \cdot 24\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$

Ответ: $48\sqrt{3}$.

1 Найдите значение выражения $2\sqrt{n+1}$ при $n = -\frac{3}{4}$.

1. Чтобы найти значение выражения $2\sqrt{n+1}$ при $n = -\frac{3}{4}$, нужно подставить заданное значение переменной $n$ в это выражение и выполнить вычисления.

1. Подставим значение $n = -\frac{3}{4}$ в выражение:

$2\sqrt{-\frac{3}{4} + 1}$

2. Вычислим значение выражения под знаком корня. Для этого приведем 1 к общему знаменателю с дробью $-\frac{3}{4}$.

$-\frac{3}{4} + 1 = -\frac{3}{4} + \frac{4}{4} = \frac{-3+4}{4} = \frac{1}{4}$

3. Теперь выражение принимает вид:

$2\sqrt{\frac{1}{4}}$

4. Извлечем квадратный корень из дроби $\frac{1}{4}$.

$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$

5. Выполним последнее действие — умножение:

$2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Следовательно, значение исходного выражения при $n = -\frac{3}{4}$ равно 1.

Ответ: 1

2 Известно, что $\sqrt{a} = b$. Какое из следующих равенств верно?

1) $a^2 = b$

2) $a^2 = b^2$

3) $a = b^2$

4) $a = \sqrt{b}$

В задаче дано равенство $\sqrt{a} = b$. Необходимо найти, какое из предложенных равенств является верным следствием этого условия.

По определению арифметического квадратного корня, равенство $\sqrt{a} = b$ истинно, если число $b$ является неотрицательным ($b \ge 0$) и его квадрат равен подкоренному выражению $a$. Математически это записывается как $a = b^2$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов, используя выведенное тождество $a = b^2$.

1) $a^2 = b$

Это утверждение неверно. Оно противоречит полученному нами равенству $a = b^2$. Для проверки можно взять конкретные числа. Например, если $a = 9$, то из исходного условия $b = \sqrt{9} = 3$. Подставим эти значения в проверяемое равенство: $a^2 = 9^2 = 81$. Получаем $81 = 3$, что является ложью.

2) $a^2 = b^2$

Это утверждение в общем случае неверно. Мы знаем, что $a = b^2$. Подставим это в левую часть проверяемого равенства: $a^2 = (b^2)^2 = b^4$. Тогда равенство $a^2 = b^2$ превращается в $b^4 = b^2$. Это уравнение справедливо не для всех возможных $b$, а только для частных случаев ($b=0$ или $b=1$, так как $b \ge 0$), поэтому в общем виде оно неверно.

3) $a = b^2$

Это утверждение является прямым следствием определения арифметического квадратного корня, как было показано в самом начале. Это тождественно верное равенство.

4) $a = \sqrt{b}$

Это утверждение неверно. Подставим в него верное равенство $a = b^2$: получим $b^2 = \sqrt{b}$. Это уравнение справедливо только для $b=0$ и $b=1$, но не в общем случае. Следовательно, это утверждение неверно.

Таким образом, единственное верное равенство из предложенных — это $a = b^2$.

Ответ: 3

3 Расстояние $h$, которое пролетает тело при свободном падении, вычисляется по формуле $h = \frac{gt^2}{2}$, где $g$ — ускорение свободного падения, $t$ — время падения. Выразите из этой формулы время $t$.

Чтобы выразить время $t$ из формулы расстояния свободного падения $h = \frac{gt^2}{2}$, необходимо выполнить следующие алгебраические преобразования:

1. Исходная формула:

$h = \frac{gt^2}{2}$

2. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2h = gt^2$

3. Разделим обе части уравнения на ускорение свободного падения $g$, чтобы выделить $t^2$:

$\frac{2h}{g} = t^2$

4. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $t$. Поскольку время не может быть отрицательным, рассматриваем только арифметический корень:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Ответ: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$