Страница 116 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6 Сколько корней имеет уравнение $x^2 = a$, если: $a > 0$; $a = 0$; $a < 0$?

Решите уравнение: $x^2 = 16$; $x^2 = 10$; $x^2 = 0$; $x^2 = -9$.

a > 0

Если число $a$ положительное, то уравнение $x^2 = a$ имеет два корня. Это происходит потому, что как положительное, так и отрицательное число при возведении в квадрат дают положительный результат. Корнями являются $x_1 = \sqrt{a}$ и $x_2 = -\sqrt{a}$.

Ответ: два корня.

a = 0

Если $a = 0$, то уравнение принимает вид $x^2 = 0$. Единственное число, квадрат которого равен нулю, это ноль. Следовательно, уравнение имеет только один корень.

Ответ: один корень ($x=0$).

a < 0

Если число $a$ отрицательное, то уравнение $x^2 = a$ не имеет действительных корней. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю), поэтому он не может быть равен отрицательному числу.

Ответ: нет корней.

Решите уравнение: x² = 16

Это уравнение вида $x^2 = a$, где $a = 16 > 0$. Уравнение имеет два корня. Для их нахождения извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{16}$

$x_1 = 4, x_2 = -4$

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -4$.

x² = 10

В этом уравнении $a = 10 > 0$, поэтому оно также имеет два корня:

$x = \pm\sqrt{10}$

Число 10 не является полным квадратом, поэтому корни оставляем в иррациональном виде.

Ответ: $x_1 = \sqrt{10}, x_2 = -\sqrt{10}$.

x² = 0

В этом уравнении $a = 0$. Уравнение имеет один корень.

$x^2 = 0 \implies x = 0$

Ответ: $x = 0$.

x² = -9

В этом уравнении $a = -9 < 0$. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, у этого уравнения нет действительных корней.

Ответ: нет корней.

7 Запишите с помощью букв теорему о корне из произведения. Примените её к выражению $\sqrt{225 \cdot 144}$.

Запишите с помощью букв теорему о корне из произведения.

Теорема о корне из произведения гласит: корень из произведения двух или более неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

С помощью букв эту теорему для двух множителей можно записать так: если $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то справедливо равенство:

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Ответ: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (при $a \ge 0, b \ge 0$).

Примените её к выражению $\sqrt{225 \cdot 144}$.

Для вычисления значения выражения $\sqrt{225 \cdot 144}$ используем сформулированную выше теорему. Так как множители 225 и 144 являются неотрицательными числами, мы можем разложить корень из произведения на произведение корней.

$\sqrt{225 \cdot 144} = \sqrt{225} \cdot \sqrt{144}$

Теперь вычислим значение каждого квадратного корня по отдельности:

$\sqrt{225} = 15$, поскольку $15^2 = 225$.

$\sqrt{144} = 12$, поскольку $12^2 = 144$.

Далее, подставим полученные значения обратно в выражение и найдем их произведение:

$15 \cdot 12 = 180$

Таким образом, итоговый результат:

$\sqrt{225 \cdot 144} = 180$

Ответ: 180.

8 Запишите с помощью букв теорему о корне из частного. Примените её к выражению $\sqrt{\frac{196}{25}}$.

Запишите с помощью букв теорему о корне из частного.
Теорема о корне из частного гласит, что корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя.
С помощью букв эту теорему можно записать следующим образом: для любых чисел $a$ и $b$, таких что $a \ge 0$ и $b > 0$, справедливо равенство:
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
Ответ: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ при $a \ge 0$ и $b > 0$.

Примените её к выражению $\sqrt{\frac{196}{25}}$.
Для вычисления значения выражения $\sqrt{\frac{196}{25}}$ воспользуемся теоремой о корне из частного, так как числитель $196 \ge 0$ и знаменатель $25 > 0$.
$\sqrt{\frac{196}{25}} = \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{25}}$
Теперь найдём значения квадратных корней из числителя и знаменателя:
$\sqrt{196} = 14$, так как $14^2 = 196$.
$\sqrt{25} = 5$, так как $5^2 = 25$.
Подставим полученные значения обратно в дробь:
$\frac{\sqrt{196}}{\sqrt{25}} = \frac{14}{5}$
Результат можно представить в виде десятичной дроби: $\frac{14}{5} = 2.8$.
Ответ: $\frac{14}{5}$.

9 Объясните:

а) как вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{128}$;

б) как внести множитель под знак корня в выражении $5\sqrt{3}$.

а) как вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{128}$

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, необходимо разложить подкоренное число на такие множители, чтобы из одного или нескольких из них можно было точно извлечь квадратный корень. Такой множитель должен быть полным квадратом.

1. Найдём для числа 128 множитель, являющийся полным квадратом. Для этого можно разложить 128 на простые множители: $128 = 2 \cdot 64$. Число 64 является полным квадратом, так как $8^2 = 64$.

2. Представим исходное выражение, используя найденное разложение: $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2}$

3. Воспользуемся свойством квадратного корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0$, $b \ge 0$). $\sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{2}$

4. Вычислим значение корня из полного квадрата: $\sqrt{64} = 8$.

5. Получаем итоговый результат: $8 \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$

Таким образом, множитель 8 был вынесен из-под знака корня.

Ответ: $8\sqrt{2}$

б) как внести множитель под знак корня в выражении $5\sqrt{3}$

Чтобы внести множитель под знак корня, необходимо выполнить обратную операцию: возвести множитель, стоящий перед корнем, в квадрат и записать его под знаком корня в качестве сомножителя.

1. Представим множитель 5 в виде квадратного корня. Для этого возводим 5 в квадрат и помещаем результат под знак корня: $5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}$.

2. Перепишем исходное выражение, заменив 5 на $\sqrt{25}$: $5\sqrt{3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3}$

3. Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$: $\sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{25 \cdot 3}$

4. Выполним умножение чисел под знаком корня: $25 \cdot 3 = 75$

5. Запишем конечный результат: $\sqrt{75}$

Таким образом, множитель 5 был внесён под знак корня.

Ответ: $\sqrt{75}$

1 Вычислите:

а) $\sqrt{81}$;

б) $\sqrt{\frac{9}{16}};$

в) $\sqrt{0,64}$.

а) Для того чтобы вычислить арифметический квадратный корень из 81, необходимо найти неотрицательное число, которое при возведении в квадрат дает 81. Таким числом является 9, так как $9^2 = 9 \times 9 = 81$. Следовательно, $\sqrt{81} = 9$. Ответ: 9

б) Чтобы вычислить корень из дроби, воспользуемся свойством корня из частного, согласно которому корень из дроби равен частному корней из числителя и знаменателя: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Применим это свойство к нашему выражению: $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}$. Мы знаем, что $\sqrt{9} = 3$ (так как $3^2 = 9$) и $\sqrt{16} = 4$ (так как $4^2 = 16$). Подставив эти значения, получаем дробь $\frac{3}{4}$. Ответ: $\frac{3}{4}$

в) Для вычисления корня из десятичной дроби 0,64, представим ее в виде обыкновенной дроби. Десятичная дробь 0,64 равна $\frac{64}{100}$. Теперь извлечем корень из этой дроби, используя то же свойство, что и в пункте б): $\sqrt{0,64} = \sqrt{\frac{64}{100}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{100}}$. Мы знаем, что $\sqrt{64} = 8$ (так как $8^2 = 64$) и $\sqrt{100} = 10$ (так как $10^2 = 100$). В результате получаем дробь $\frac{8}{10}$, которую можно записать в виде десятичной дроби 0,8. Ответ: 0,8

2 Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{\frac{x-y}{2}}$ при $x = 126$, $y = 54$;

В) $\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{3}$ при $x = 0,25$, $y = 0,01$.

б) $\frac{\sqrt{x+y}}{5}$ при $x = 27$, $y = 22$;

а) Подставим заданные значения $x = 126$ и $y = 54$ в выражение $\sqrt{\frac{x-y}{2}}$:
$\sqrt{\frac{126-54}{2}} = \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6$.
Ответ: 6

б) Подставим заданные значения $x = 27$ и $y = 22$ в выражение $\frac{\sqrt{x+y}}{5}$:
$\frac{\sqrt{27+22}}{5} = \frac{\sqrt{49}}{5} = \frac{7}{5} = 1,4$.
Ответ: 1,4

в) Подставим заданные значения $x = 0,25$ и $y = 0,01$ в выражение $\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{3}$:
$\frac{\sqrt{0,25}+\sqrt{0,01}}{3} = \frac{0,5+0,1}{3} = \frac{0,6}{3} = 0,2$.
Ответ: 0,2

3 Площадь квадрата, диагональ которого равна $b$, можно вычислить по формуле $S = \frac{b^2}{2}$. Выразите из этой формулы диагональ квадрата $b$.

Для того чтобы выразить диагональ квадрата $b$ из формулы площади $S = \frac{b^2}{2}$, необходимо выполнить следующие алгебраические преобразования.

1. Исходное уравнение: $S = \frac{b^2}{2}$.

2. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя в правой части:
$2 \cdot S = 2 \cdot \frac{b^2}{2}$
$2S = b^2$

3. Теперь, чтобы найти $b$, извлечем квадратный корень из обеих частей полученного равенства. Так как $b$ обозначает длину диагонали, ее значение должно быть положительным, поэтому мы берем арифметический (положительный) корень:
$\sqrt{b^2} = \sqrt{2S}$
$b = \sqrt{2S}$

Таким образом, мы выразили диагональ $b$ через площадь $S$.
Ответ: $b = \sqrt{2S}$

4 Между какими последовательными целыми числами заключено число: $\sqrt{18}$, $\sqrt{89}$, $\sqrt{160}$?

$\sqrt{18}$
Чтобы найти, между какими последовательными целыми числами заключено число $\sqrt{18}$, нужно найти два последовательных целых числа $n$ и $n+1$, квадраты которых "ограничивают" число 18, то есть $n^2 < 18 < (n+1)^2$.
Рассмотрим квадраты целых чисел, близких к 18:
$4^2 = 16$
$5^2 = 25$
Мы видим, что $16 < 18 < 25$.
Запишем это в виде двойного неравенства: $4^2 < 18 < 5^2$.
Извлекая квадратный корень из всех частей этого неравенства, получаем: $\sqrt{4^2} < \sqrt{18} < \sqrt{5^2}$.
Следовательно, $4 < \sqrt{18} < 5$.
Ответ: число $\sqrt{18}$ заключено между последовательными целыми числами 4 и 5.

$\sqrt{89}$
Аналогично поступим с числом $\sqrt{89}$. Найдем ближайшие к 89 квадраты целых чисел.
$9^2 = 81$
$10^2 = 100$
Поскольку $81 < 89 < 100$, мы можем записать неравенство $9^2 < 89 < 10^2$.
Извлекая квадратный корень, получаем: $\sqrt{9^2} < \sqrt{89} < \sqrt{10^2}$.
Следовательно, $9 < \sqrt{89} < 10$.
Ответ: число $\sqrt{89}$ заключено между последовательными целыми числами 9 и 10.

$\sqrt{160}$
Теперь определим положение числа $\sqrt{160}$. Ищем ближайшие к 160 квадраты целых чисел.
$12^2 = 144$
$13^2 = 169$
Так как $144 < 160 < 169$, то справедливо неравенство $12^2 < 160 < 13^2$.
Извлекая квадратный корень из всех частей, получаем: $\sqrt{12^2} < \sqrt{160} < \sqrt{13^2}$.
Следовательно, $12 < \sqrt{160} < 13$.
Ответ: число $\sqrt{160}$ заключено между последовательными целыми числами 12 и 13.

5 Сравните числа:

а) $\sqrt{26}$ и $\sqrt{62}$;

б) $\sqrt{234}$ и $16$;

в) $-\sqrt{5}$ и $-\sqrt{6}$.

а) Чтобы сравнить числа $\sqrt{26}$ и $\sqrt{62}$, необходимо сравнить их подкоренные выражения. Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для всех $x \ge 0$. Это означает, что чем больше значение подкоренного выражения, тем больше значение самого корня.
Сравним подкоренные выражения: $26$ и $62$.
Поскольку $26 < 62$, то и $\sqrt{26} < \sqrt{62}$.
Ответ: $\sqrt{26} < \sqrt{62}$.

б) Чтобы сравнить числа $\sqrt{234}$ и $16$, представим число $16$ в виде квадратного корня. Для этого возведем $16$ в квадрат и запишем результат под знак корня.
$16 = \sqrt{16^2} = \sqrt{256}$.
Теперь задача сводится к сравнению двух корней: $\sqrt{234}$ и $\sqrt{256}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $234$ и $256$.
Так как $234 < 256$, то $\sqrt{234} < \sqrt{256}$.
Следовательно, $\sqrt{234} < 16$.
Ответ: $\sqrt{234} < 16$.

в) Для сравнения отрицательных чисел $-\sqrt{5}$ и $-\sqrt{6}$ сначала сравним их положительные аналоги (модули): $\sqrt{5}$ и $\sqrt{6}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $5$ и $6$.
Так как $5 < 6$, то $\sqrt{5} < \sqrt{6}$.
При сравнении отрицательных чисел, то число больше, модуль которого меньше. Это также означает, что при умножении обеих частей неравенства на $-1$, знак неравенства меняется на противоположный.
Поскольку $\sqrt{5} < \sqrt{6}$, то $-\sqrt{5} > -\sqrt{6}$.
Ответ: $-\sqrt{5} > -\sqrt{6}$.

6 Покажите на координатной прямой примерное положение чисел $\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$, $\sqrt{52}$, $-\sqrt{52}$.

Для того чтобы показать примерное положение чисел на координатной прямой, необходимо сначала оценить их значения.

1. Оценка чисел $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$
Известно, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$. Это означает, что $1 < \sqrt{2} < 2$.
Для более точной оценки, возведем в квадрат числа между 1 и 2:$1.4^2 = 1.96$$1.5^2 = 2.25$Так как 2 ближе к 1.96, чем к 2.25, то $\sqrt{2}$ немного больше 1.4. Примем $\sqrt{2} \approx 1.41$.Соответственно, значение $-\sqrt{2} \approx -1.41$. Это число находится между -1 и -2, ближе к -1.

2. Оценка чисел $\sqrt{52}$ и $-\sqrt{52}$
Найдем ближайшие к 52 квадраты целых чисел: $7^2 = 49$ и $8^2 = 64$. Это означает, что $7 < \sqrt{52} < 8$.
Для более точной оценки, возведем в квадрат числа между 7 и 8:$7.2^2 = 51.84$$7.3^2 = 53.29$Так как 52 ближе к 51.84, чем к 53.29, то $\sqrt{52}$ немного больше 7.2. Примем $\sqrt{52} \approx 7.21$.Соответственно, значение $-\sqrt{52} \approx -7.21$. Это число находится между -7 и -8, ближе к -7.

3. Расположение чисел на координатной прямой
Теперь мы можем расположить числа на координатной прямой в порядке возрастания, используя их приближенные значения:
$-\sqrt{52} \approx -7.21$
$-\sqrt{2} \approx -1.41$
$\sqrt{2} \approx 1.41$
$\sqrt{52} \approx 7.21$

Ниже представлена координатная прямая с отмеченными точками:

Ответ:
Примерное положение чисел на координатной прямой показано на рисунке выше. Число $-\sqrt{52}$ расположено немного левее отметки -7. Число $-\sqrt{2}$ расположено между -1 и -2. Число $\sqrt{2}$ расположено между 1 и 2. Число $\sqrt{52}$ расположено немного правее отметки 7.

7 Пользуясь калькулятором, укажите две последовательные десятичные дроби с двумя знаками после запятой, между которыми заключено число $\sqrt{32}$.

Чтобы найти две последовательные десятичные дроби с двумя знаками после запятой, между которыми заключено число $\sqrt{32}$, необходимо сначала вычислить приближенное значение этого числа с помощью калькулятора.

1. Вычисляем значение $\sqrt{32}$:

$\sqrt{32} \approx 5.6568542...$

2. Нам нужны десятичные дроби с двумя знаками после запятой. Рассмотрим полученное значение $\sqrt{32}$ и отбросим все цифры после сотых, получим нижнюю границу:

$5.65$

3. Следующая по порядку десятичная дробь с двумя знаками после запятой будет верхней границей. Чтобы ее найти, нужно увеличить последнюю цифру нижней границы на единицу:

$5.65 + 0.01 = 5.66$

4. Теперь проверим, действительно ли число $\sqrt{32}$ находится между $5.65$ и $5.66$:

$5.65 < 5.6568542... < 5.66$

Это неравенство верно. Таким образом, искомые дроби — это $5.65$ и $5.66$.

Ответ: $5.65$ и $5.66$.

Маль (32)

8 Чему равно расстояние между домами $A$ и $B$, расположенными на двух взаимно перпендикулярных улицах, если дом $A$ расположен в 2 км от перекрёстка, а дом $B$ — в 1,5 км от этого перекрёстка?

Для решения этой задачи мы можем представить расположение улиц и домов в виде прямоугольного треугольника. Две взаимно перпендикулярные улицы образуют прямой угол, а перекресток является вершиной этого угла.

Расстояние от перекрестка до дома A представляет собой один катет этого треугольника. Обозначим его длину как $a$. Согласно условию, $a = 2$ км.

Расстояние от перекрестка до дома B представляет собой второй катет. Обозначим его длину как $b$. Согласно условию, $b = 1,5$ км.

Расстояние между домами A и B — это гипотенуза этого прямоугольного треугольника. Обозначим её длину как $c$.

Для нахождения длины гипотенузы воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$c^2 = a^2 + b^2$

Подставим известные значения в формулу:

$c^2 = 2^2 + (1,5)^2$

Выполним вычисления:

$c^2 = 4 + 2,25$

$c^2 = 6,25$

Теперь найдем $c$, извлекая квадратный корень из 6,25:

$c = \sqrt{6,25}$

$c = 2,5$ км

Следовательно, расстояние между домами A и B равно 2,5 км.

Ответ: 2,5 км.