Страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вычисления по формулам

408 Высота $h$, проведённая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, вычисляется по формуле $h = \sqrt{ab}$ (рис. 2.34). Выразите из этой формулы $a$ и $b$.

Чтобы выразить переменные $a$ и $b$ из формулы $h = \sqrt{ab}$, необходимо выполнить следующие алгебраические преобразования.

Выражение переменной a

1. Исходная формула: $h = \sqrt{ab}$.
2. Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
$h^2 = (\sqrt{ab})^2$
$h^2 = ab$
3. Чтобы выделить $a$, разделим обе части уравнения на $b$. Так как $a$ и $b$ представляют собой длины отрезков, они не равны нулю, поэтому деление возможно.
$\frac{h^2}{b} = \frac{ab}{b}$
$a = \frac{h^2}{b}$
Ответ: $a = \frac{h^2}{b}$

Выражение переменной b

1. Используем уравнение, полученное после возведения в квадрат исходной формулы: $h^2 = ab$.
2. Чтобы выделить $b$, разделим обе части уравнения на $a$.
$\frac{h^2}{a} = \frac{ab}{a}$
$b = \frac{h^2}{a}$
Ответ: $b = \frac{h^2}{a}$

409 Из формулы выразите каждую переменную, стоящую под знаком радикала:

а) $v = k\frac{\sqrt{F}}{l}$;

б) $t = \sqrt{\frac{2S}{a}}$;

в) $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$.

а) В формуле $v = k \sqrt{\frac{F}{l}}$ необходимо выразить переменные $F$ и $l$, стоящие под знаком радикала. Для этого сначала изолируем радикал, разделив обе части уравнения на $k$ (при условии, что $k \neq 0$): $\frac{v}{k} = \sqrt{\frac{F}{l}}$ Затем возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от знака корня: $(\frac{v}{k})^2 = (\sqrt{\frac{F}{l}})^2$ $\frac{v^2}{k^2} = \frac{F}{l}$ Теперь из полученного соотношения можно выразить каждую переменную. Чтобы выразить $F$, умножим обе части на $l$: $F = l \cdot \frac{v^2}{k^2} = \frac{lv^2}{k^2}$ Чтобы выразить $l$, из соотношения $\frac{v^2}{k^2} = \frac{F}{l}$ воспользуемся свойством пропорции (умножим крест-накрест): $v^2 l = F k^2$ Разделим обе части на $v^2$ (при условии, что $v \neq 0$): $l = \frac{Fk^2}{v^2}$
Ответ: $F = \frac{lv^2}{k^2}$; $l = \frac{Fk^2}{v^2}$.

б) В формуле $t = \sqrt{\frac{2S}{a}}$ под знаком радикала находятся переменные $S$ и $a$. Чтобы их выразить, сначала возведем обе части уравнения в квадрат: $t^2 = (\sqrt{\frac{2S}{a}})^2$ $t^2 = \frac{2S}{a}$ Теперь из этого уравнения выразим поочередно $S$ и $a$. Чтобы выразить $S$, умножим обе части на $a$ и затем разделим на 2: $t^2 a = 2S$ $S = \frac{at^2}{2}$ Чтобы выразить $a$, из уравнения $t^2 a = 2S$ разделим обе части на $t^2$ (при условии, что $t \neq 0$): $a = \frac{2S}{t^2}$
Ответ: $S = \frac{at^2}{2}$; $a = \frac{2S}{t^2}$.

в) В формуле $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$ нужно выразить переменные $m_1$ и $m_2$. Сначала возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от радикала: $(\frac{v_1}{v_2})^2 = (\sqrt{\frac{m_2}{m_1}})^2$ $\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{m_2}{m_1}$ Из полученной пропорции выразим каждую массу. Чтобы выразить $m_2$, умножим обе части на $m_1$: $m_2 = m_1 \cdot \frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{m_1 v_1^2}{v_2^2}$ Чтобы выразить $m_1$, воспользуемся свойством пропорции: $m_1 v_1^2 = m_2 v_2^2$ Разделим обе части на $v_1^2$ (при условии, что $v_1 \neq 0$): $m_1 = \frac{m_2 v_2^2}{v_1^2}$
Ответ: $m_2 = \frac{m_1 v_1^2}{v_2^2}$; $m_1 = \frac{m_2 v_2^2}{v_1^2}$.

410 Известны формулы для вычисления площади S треугольника.

Равностороннего: $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$, где a — сторона.

Равнобедренного: $S = \frac{1}{2} a \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$, где a — основание, b — боковая сторона.

Любого: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где a, b и c — стороны, $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

Найдите приближённое значение площади каждого треугольника, изображённого на рисунке 2.35, используя соответствующую формулу. (Ответ дайте с одним знаком после запятой.)

411 Из клинописных табличек, найденных при раскопках, известен способ извлечения квадратных корней, которым пользовались древние вавилоняне ещё за две тысячи лет до н. э. На современном математическом языке он может быть описан с помощью такого приближённого равенства:

$\sqrt{c} = \sqrt{a^2 + b} \approx a + \frac{b}{2a}$.

Рис. 2.35

Для решения задачи необходимо определить тип каждого треугольника, выбрать соответствующую формулу для вычисления площади и произвести расчеты, округлив результат до одного знака после запятой.

Треугольник POR

Этот треугольник является разносторонним, так как длины его сторон различны: $PO=3$, $OR=6$, $RP=5$. Для вычисления его площади $S$ воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a, b, c$ – стороны треугольника, а $p$ – его полупериметр.

1. Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3+5+6}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

2. Подставим найденные значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{7(7-3)(7-5)(7-6)} = \sqrt{7 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{56}$.

3. Найдем приближенное значение площади и округлим его:

$S = \sqrt{56} \approx 7.483$.

Округляя до одного знака после запятой, получаем $S \approx 7.5$.

Ответ: $7.5$

Треугольник LMN

Этот треугольник является равнобедренным, так как у него две стороны равны: $LM = NL = 6$. Основание треугольника $a = MN = 4$, а боковая сторона $b = 6$. Для вычисления площади $S$ используем формулу для равнобедренного треугольника: $S = \frac{1}{2}a\sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$.

1. Подставим значения $a=4$ и $b=6$ в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{6^2 - \frac{4^2}{4}} = 2\sqrt{36 - \frac{16}{4}} = 2\sqrt{36-4} = 2\sqrt{32}$.

2. Упростим выражение и вычислим приближенное значение:

$S = 2\sqrt{16 \cdot 2} = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.

Используя $\sqrt{2} \approx 1.414$, получаем:

$S \approx 8 \cdot 1.414 = 11.312$.

3. Округляя до одного знака после запятой, получаем $S \approx 11.3$.

Ответ: $11.3$

Треугольник ABC

Этот треугольник является равносторонним, так как все его стороны равны: $AB = BC = AC = 5$. Для вычисления площади $S$ используем формулу для равностороннего треугольника: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, где $a$ – сторона треугольника.

1. Подставим значение стороны $a=5$ в формулу:

$S = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$.

2. Вычислим приближенное значение. Используя $\sqrt{3} \approx 1.732$, получаем:

$S \approx \frac{25 \cdot 1.732}{4} = \frac{43.3}{4} = 10.825$.

3. Округляя до одного знака после запятой, получаем $S \approx 10.8$.

Ответ: $10.8$

411 Из клинописных табличек, найденных при раскопках, известен способ извлечения квадратных корней, которым пользовались древние вавилоняне ещё за две тысячи лет до н. э. На современном математическом языке он может быть описан с помощью такого приближённого равенства:

$\sqrt{c} = \sqrt{a^2 + b} \approx a + \frac{b}{2a}$

Например, $\sqrt{28} = \sqrt{25 + 3} \approx 5 + \frac{3}{2 \cdot 5} = 5,3$. (С помощью калькулятора мы получили бы, что $\sqrt{28} \approx 5,29$.)

Пользуясь указанной приближённой формулой, найдите $\sqrt{39}$, $\sqrt{85}$. Сравните ответ с числом, полученным с помощью калькулятора.

Для решения задачи воспользуемся вавилонской формулой приближенного извлечения квадратного корня: $\sqrt{c} = \sqrt{a^2+b} \approx a + \frac{b}{2a}$, где $a^2$ — это наибольший точный квадрат, не превосходящий $c$.

$\sqrt{39}$. Найдем приближенное значение для $\sqrt{39}$. Наибольший точный квадрат, который меньше 39, — это 36. Таким образом, мы можем представить $39$ как $36 + 3$. В данном случае $a^2 = 36$, значит $a=6$, а $b=3$. Подставим эти значения в формулу: $\sqrt{39} = \sqrt{36+3} \approx 6 + \frac{3}{2 \cdot 6} = 6 + \frac{3}{12} = 6 + \frac{1}{4} = 6,25$. Сравним полученный результат со значением, вычисленным на калькуляторе: $\sqrt{39} \approx 6,245$. Разница между значениями составляет всего $6,25 - 6,245 = 0,005$.
Ответ: по формуле $\sqrt{39} \approx 6,25$; значение на калькуляторе $\sqrt{39} \approx 6,245$.

$\sqrt{85}$. Найдем приближенное значение для $\sqrt{85}$. Наибольший точный квадрат, который меньше 85, — это 81. Таким образом, мы можем представить $85$ как $81 + 4$. В данном случае $a^2 = 81$, значит $a=9$, а $b=4$. Подставим эти значения в формулу: $\sqrt{85} = \sqrt{81+4} \approx 9 + \frac{4}{2 \cdot 9} = 9 + \frac{4}{18} = 9 + \frac{2}{9}$. Преобразуем дробь в десятичную: $\frac{2}{9} \approx 0,222$. Следовательно, $\sqrt{85} \approx 9,222$. Сравним полученный результат со значением, вычисленным на калькуляторе: $\sqrt{85} \approx 9,220$. Разница между значениями составляет всего $9,222 - 9,220 = 0,002$.
Ответ: по формуле $\sqrt{85} \approx 9,222$; значение на калькуляторе $\sqrt{85} \approx 9,220$.